【題目】如圖,直線y=x與雙曲線y=(k>0,x>0)交于點(diǎn)P,PAx軸于點(diǎn)A,SPAO=

(1)k= 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ;

(2)如圖1,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,﹣1),連接PE,過點(diǎn)P作PFPE,交x軸于點(diǎn)F,求點(diǎn)F的坐標(biāo);

(3)如圖2,將點(diǎn)A向右平移5個(gè)單位長度得點(diǎn)M,Q為雙曲線y=(x>0)上一點(diǎn)且滿足SQPO=SMPO,求點(diǎn)Q的坐標(biāo);

(4)將PAO繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α(0°<α<180°),記旋轉(zhuǎn)中的PAOPA′O′設(shè)直線PO′、直線A′O′與x軸分別交于點(diǎn)G、H,是否存在這樣的旋轉(zhuǎn)角α,使得GHO′為等腰三角形?若存在,直接寫出α;若不存在,請說明理由.

【答案】19,(3,3)2(7,0)3Q(9,1)或(1,9);4當(dāng)α為45°或67.5°或90°時(shí),使GHO′為等腰三角形

【解析】

試題分析:(1)由P為y=x與反比例函數(shù)的交點(diǎn),得到P在y=x上,故設(shè)P(a,a),且a大于0,可得出AP=OA=a,由三角形AOP為直角三角形,且面積已知,利用三角形的面積公式列出關(guān)于a的方程,求出方程的解得到a的值,即可確定出P的坐標(biāo),將P的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中,即可求出k的值;

(2)根據(jù)題意過P作PF垂直于PE,交x軸于點(diǎn)F,過P作PB垂直于y軸于點(diǎn)B,先由一對對頂角相等及一對直角相等,利用三角形的內(nèi)角和定理得出BEP=AFP,再由一對直角相等,以及BP=OA=AP,利用AAS可得出三角形BEP與三角形AFP全等,利用全等三角形的對應(yīng)邊相等可得出BE=AF,由OF=OA+AF,即可得出點(diǎn)F的坐標(biāo);

(3)連接OQ,PQ,過Q作QCx軸于C點(diǎn),由A的坐標(biāo)及平移的規(guī)律找出M的坐標(biāo),在x軸上作出M點(diǎn),連接PM,POM以O(shè)M為底邊,AP為高,求出POM的面積,可得出QPO的面積,由Q在反比例函數(shù)圖象上,設(shè)出Q的坐標(biāo)為Q(m,)(m>0),得出QC與OC,而QOP的面積=AOP的面積+直角梯形APQC的面積﹣OQC的面積,而AOP的面積與QOC的面積相等,故QOP的面積=直角梯形APQC的面積,由梯形的面積得出關(guān)于m的方程,求出方程的解得到m的值,即可得出Q的坐標(biāo);

(4)分三種情況分析討論:①當(dāng)GH=O′G時(shí);②當(dāng)GH=HO′時(shí);③當(dāng)GO′=HO′時(shí);分別求得即可.

解:(1)由點(diǎn)P為y=x與反比例函數(shù)y=的交點(diǎn),設(shè)P(a,a)(a>0),如圖1所示:

可得出PA=OA=a,又SPAO=

OA×PA=a2=

解得:a=3或a=﹣3(舍去),

則P(3,3),

將x=3,y=3代入反比例函數(shù)解析式得:3=

則k=3×3=9;

故答案為:9,(3,3);

(2)過P作PFPE,交x軸于點(diǎn)F,過P作PBy軸于點(diǎn)B,如圖2所示:

BP=AP=3

∵∠ODE=PDF,EOD=EPF=90°

∴∠BEP=AFP,

BEPAFP中,

,

∴△BEP≌△AFP(AAS),

BE=AF,

OA=PA=OB=3,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,﹣1),

BE=4

OF=OA+AF=3+4=7,

點(diǎn)F的坐標(biāo)為(7,0);

(3)連接OQ,PQ,過Q作QCx軸于C點(diǎn),連接PM,如圖3所示:

將A點(diǎn)沿x軸向右平移5個(gè)單位為M,

M(8,0),

OM=8,

PA=3,

SMPO=OM×PA=×8×3=12,

SQPO=SMPO,

SQPO=12,

設(shè)Q(m,)(m>0),則有OC=m,QC=,

PA=OA=3

AC=|m﹣3|,

SQPO=SPAO+S梯形APQC﹣SQCO=++3)|m﹣3|﹣=12,

整理得:(m﹣9)(m+1)=0或者(m+9)(m﹣1)=0,

解得:m=9或m=﹣1(舍去),或者m=1或m=﹣9(舍去),

Q(9,1)或(1,9);

(4)分三種情況:

當(dāng)GH=O′G時(shí),如圖4所示,

∵∠PO′A′=45°,

∴∠PO′A′=GHO′=45°,

∴∠O′GH=90°

PO′x

α=45°;

當(dāng)GH=HO′時(shí),如圖5,∵∠PO′A′=45°,

∴∠PO′A′=HGO′=45°

∴∠GHO′=90°,

A′O′x軸,

α=90°;

當(dāng)GO′=HO′時(shí),如圖6,

∵∠PO′A′=45°

∴∠GHO′=HGO′=67.5°,

∴∠PGA=67.5°

∵∠PAG=90°

∴∠APG=22.5°,

∵∠OPA=45°,

α=67.5°,

當(dāng)α為45°或67.5°或90°時(shí),使GHO′為等腰三角形.

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x 1 2 3 4 5 6

y 600 300 200 150 120 100

A產(chǎn)品每個(gè)月的售價(jià)z(元)與月份x之間的函數(shù)關(guān)系式為:z=10x,已知B產(chǎn)品每個(gè)月的銷售數(shù)量m(件)與月份x之間的關(guān)系為:m=﹣2x+62,B產(chǎn)品每個(gè)月的售價(jià)n(元)與月份x存在如圖所示的變化趨勢.

(1)請觀察題中表格,用所學(xué)過的一次函數(shù)或反比例函數(shù)的有關(guān)知識,直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式

(2)請觀察如圖所示的變化趨勢,求出n與x的函數(shù)關(guān)系式

(3)求出此商店1﹣6月份經(jīng)營A、B兩種電子產(chǎn)品的銷售總額w與月份x之間的函數(shù)關(guān)系式

(4)今年7月份,商店調(diào)整了A、B兩種電子產(chǎn)品產(chǎn)品的價(jià)格,A產(chǎn)品價(jià)格在6月份基礎(chǔ)上增加a%,B產(chǎn)品價(jià)格在6月份基礎(chǔ)上減少a%,結(jié)果7月份A產(chǎn)品的銷售數(shù)量比6月份減少2a%,B產(chǎn)品的銷售數(shù)量比6月份增加2a%,若調(diào)整價(jià)格后7月份的銷售總額比6月份的銷售總額少2000元,請根據(jù)以下參考數(shù)據(jù)估算a的值.(參考數(shù)據(jù):6.32=39.69,6.42=40.91,6.52=42.25,6.62=43.56)

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