【題目】如圖,已知RtABC的直角邊ACRtDEF的直角邊DF在同一條直線上,且AC=60cmBC=45cmDF=6cm,EF=8cm.現(xiàn)將點(diǎn)C與點(diǎn)F重合,再以4cm/s的速度沿

CA方向移動△DEF;同時,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以5cm/s的速度沿AB方向移動.設(shè)移動時間為ts),以點(diǎn)P為圓心,3tcm)長為半徑的⊙P與直線AB相交于點(diǎn)M,N,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時,△DEF與點(diǎn)P同時停止移動,在移動過程中:

1)連接ME,當(dāng)MEAC時,t=________s;

2)連接NF,當(dāng)NF平分DE時,求t的值;

3)是否存在⊙PRtDEF的兩條直角邊所在的直線同時相切的時刻?若存在,求出t的值;若不存在,說明理由.

【答案】

【解析】試題分析:1)作,垂足為,作 垂足為.首先可求得的正弦和余弦值,在中可求得的長,然后再求得的長,接下來,再求得的長,最后依據(jù)列方程求解即可;
2)連結(jié)NFDE與點(diǎn)G,則GDE的中點(diǎn).先證明從而可證明 然后再證明是直角三角形,然后利用銳角三角函數(shù)的定義可求得AF的長,然后依據(jù)列方程求解即可;
3)如圖3所示:過點(diǎn)P,垂足為H,當(dāng)EF相切時,且點(diǎn)為G,連結(jié)PG.先證明,然后可得到 然后依據(jù)列方程求解即可;如圖4所示:連接GP,過點(diǎn)P 垂足為H.先證明,然后可得到 然后依據(jù)列方程求解即可.

試題解析:(1)如圖1所示:作MHAC,垂足為H,作OGAC,垂足為G.

∵在RtABC中,AC=60,BC=45,

AB=75cm.

AM=5t3t=2t.

當(dāng)MEAC,MH=EF, 解得

故答案為:

(2)如圖2所示:連結(jié)NFDE與點(diǎn)G,則GDE的中點(diǎn),

AC=60cm,BC=45cm,DF=6cm,EF=8cm

∴△EDF∽△ABC.

∴∠A=E.

EDE的中點(diǎn),

∴∠DFD=GDF.

又∵FC=4t,

10t+4t=60,解得

(3)如圖3所示:過點(diǎn)PPHAC,垂足為H,當(dāng)⊙PEF相切時,且點(diǎn)為G,連結(jié)PG.

EF是⊙P的切線,

∴四邊形PGFH為矩形,

PG=HF.

∵⊙P的半徑為3t,

PH=3t.

∴⊙PAC相切,

EF為⊙P的切線,

PGEF.

HF=PG=3t.

AH=45AP=4t,FC=4t

4t+3t+4t=60,解得

如圖4所示:連接GP,過點(diǎn)PPHAC,垂足為H.

由題意得可知:AH=4t,CF=4t.

EF是⊙P的切線,

∴四邊形PGFH為矩形,

PG=HF.

GP=FH,

FH=3t.

4t+4t3t=60,解得:t=12.

綜上所述,當(dāng)t的值為12時,⊙PRtDEF的兩條直角邊所在的直線同時相切.

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