Question

3．如圖，有兩條筆直的公路（BD和EF，其寬度不計）從一塊矩形的土地ABCD中穿過，EF是BD的垂直平分線，有BD=400m，EF=300m，求這塊矩形土地ABCD的面積是76800m²．

Answer 1

分析 連接BF，DE，由EF為BD的垂直平分線，得到DF=BF，OD=OB，再由矩形對邊平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到兩對角相等，利用AAS得到三角形DOF與三角形BOE全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到OF=OE，利用對角線互相平分的四邊形為平行四邊形得到四邊形DEBF為平行四邊形，再利用鄰邊相等平行四邊形為菱形得到DEBF為菱形，由勾股定理求出DF的長，根據(jù)菱形面積等于對角線乘積的一半求出菱形面積，再由底與高之積等于菱形面積求出BC的長，在直角三角形BFC中，利用勾股定理求出FC的長，由DF+FC求出DC的長，根據(jù)DC與BC乘積求出矩形ABCD面積即可．

解答 解：連接BF，DE，
∵EF是BD的垂直平分線，
∴DF=BF，OD=OB，
∵矩形ABCD，
∴DC∥AB，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
在△DOF和△BOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDO=∠EBO}\\{∠DFO=BEO}\\{OD=OB}\end{array}\right.$，
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴OF=OE，
∴四邊形DEBF為菱形，
∴S菱形=$\frac{1}{2}$BD•EF=$\frac{1}{2}$×400×300=60000m²，
在Rt△DOF中，DF=$\sqrt{20{0}^{2}+15{0}^{2}}$=250m，
∵S菱形=DF•BC=250•BC=60000m²，
∴BC=240m，
在Rt△BFC中，BF=DF=250m，BC=240m，
根據(jù)勾股定理得：FC=$\sqrt{25{0}^{2}-24{0}^{2}}$=70m，
∴CD=DF+FC=250+70=320（m），
則矩形ABCD面積為240×320=76800m²．
故答案為：76800m²

點評 此題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及線段垂直平分線定理，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．