Question

15．已知關于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0
（Ⅰ）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（Ⅱ）若△ABC的兩邊AB、AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5，當△ABC是等腰三角形時，求△ABC的周長．

Answer 1

分析 （1）要證明無論k為何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根，就是證明△＞0，而△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，所以△＞0；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論：①AB=AC，②AB=BC，③BC=AC；后兩種情況相同，則可分兩種情況，再由根與系數(shù)的關系得出k的值．

解答 （1）證明：∵△=（2k+3）²-4（k²+3k+2）=1，
∴△＞0，
∴無論k取何值時，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2﹚解：∵△ABC是等腰三角形；
∴當AB=AC時，△=b²-4ac=0，
∴（2k+3）²-4（k²+3k+2）=0，
解得k不存在；
當AB=BC時，即AB=5，
∴5+AC=2k+3，5AC=k²+3k+2，
解得k=3或4，
∴AC=4或6．
∴△ABC的周長為14或16．

點評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．同時考查了一元二次方程的解法．