Question

【題目】已知，如圖，AD是△ABC的角平分線，DE、DF分別是△ABD和△ACD的高。求證：AD垂直平分EF。

Answer 1

【答案】證明：∵DE⊥AB,DF⊥AC，

∴∠AED=∠AFD，

又∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠1=∠2，DE=DF，

∴△AED≌△AFD（AAS），

∴AE=AF，

∴點A在EF的垂直平分線上（到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上）,
∵DE=DF，

∴點D在EF的垂直平分線上，

∴AD垂直平分EF.

【解析】由角平分線定義和角平分線的性質得出∠1=∠2，DE=DF，再由垂直的定義得出∠AED=∠AFD，再根據(jù)AAS得出△AED≌△AFD，由全等三角形的性質得出AE=AF，再根據(jù)垂直平分線的判定得出點A、E在EF的垂直平分線上；從而得出AD垂直平分EF.
【考點精析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定和角的平分線的相關知識點，需要掌握和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上；從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線才能正確解答此題．