Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式和C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)為M，求四邊形ABMC的面積；
（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（4）在該拋物線上求點(diǎn)Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）把A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)代入拋物線解析式可得b，c的值，令x=0，可得C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）過M點(diǎn)作x軸的垂線，把四邊形ABMC分割成3個(gè)三角形，求它們的面積和；
（3）設(shè)D（m，m²-2m-3），連接OD，把四邊形ABDC的面積分成△AOC，△DOC，△DOB的面積和，求表達(dá)式的最大值；
（4）有兩種可能：B為直角頂點(diǎn)、C為直角頂點(diǎn)，要充分認(rèn)識(shí)△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通過解直角三角形求出相關(guān)線段的長度．

解答：解：（1）A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)代入拋物線解析式y(tǒng)=x²+bx+c中得：

1-b+c=0 9-3b+c=0

，
解得：

b=-2 c=-3

，
∴拋物線解析式為：y=x²-2x-3，
令x=0，
即y=3，
∴C（0，-3）；

（2）如圖1，∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線的頂點(diǎn)為M（1，-4），連接OM．
則△AOC的面積=

3

2

，△MOC的面積=

3

2

，
△MOB的面積=6，
∴四邊形ABMC的面積=△AOC的面積+△MOC的面積+△MOB的面積=9．
說明：也可過點(diǎn)M作拋物線的對(duì)稱軸，將四邊形ABMC的面
積轉(zhuǎn)化為求1個(gè)梯形與2個(gè)直角三角形面積的和．

（3）如圖2，設(shè)D（m，m²-2m-3），連接OD．
則0＜m＜3，m²-2m-3＜0
且△AOC的面積=

3

2

，△DOC的面積=

3

2

m，
△DOB的面積=-

3

2

（m²-2m-3），
∴四邊形ABDC的面積=△AOC的面積+△DOC的面積+△DOB的面積
=-

3

2

m²+

9

2

m+6
=-

3

2

（m-

3

2

）²+

75

8

．
∴存在點(diǎn)D（

3

2

，-

15

4

），使四邊形ABDC的面積最大為

75

8

．

（4）有兩種情況：
如圖3，過點(diǎn)B作BQ₁⊥BC，交拋物線于點(diǎn)Q₁、交y軸于點(diǎn)E，連接Q₁C．
∵CO=BO=3，
∴∠CBO=45°，
∴∠EBO=45°，BO=OE=3．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，3）．
將（0，3），（3，0）代入y=kx+b得：

b=3 3k+b=0

，
解得：

k=-1 b=3

，
∴直線BE的解析式為y=-x+3，
由

y=-x+3 y=x2-2x-3

解得

x1=-2 y1=5

，

x2=3 y2=0

，
∴點(diǎn)Q₁的坐標(biāo)為（-2，5）．
如圖4，過點(diǎn)C作CF⊥CB，交拋物線于點(diǎn)Q₂、交x軸于點(diǎn)F，連接BQ₂．
∵∠CBO=45°，
∴∠CFB=45°，OF=OC=3．
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-3，0）．
∴直線CF的解析式為y=-x-3．
由

y=-x-3 y=x2-2x-3

，
解得

x1=0 y1=-3

，

x2=1 y2=-4

，
∴點(diǎn)Q₂的坐標(biāo)為（1，-4）．
綜上，在拋物線上存在點(diǎn)Q₁（-2，5）、Q₂（1，-4），使△BCQ₁、△BCQ₂是以BC為直角邊的直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)以及待定系數(shù)法求直線的解析式和二次函數(shù)最值問題以及四邊形面積求法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用直線解析式組成方程組求出Q的坐標(biāo)．