Question

如圖，已知E、F分別為正方形ABCD的邊AB，BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M，O為BD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM=

2

3

MF．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、5個(gè)
• B、4個(gè)
• C、3個(gè)
• D、2個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根據(jù)中點(diǎn)定義求出AE=BF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，從而求出∠AMD=90°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得∠AME=90°，從而判斷①正確；根據(jù)中線的定義判斷出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判斷出②錯(cuò)誤；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)判斷出△AED、△MAD、△MEA三個(gè)三角形相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得

AM

EM

=

MD

AM

=

AD

AE

=2，然后求出MD=2AM=4EM，判斷出④正確，設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=

2

3

MF，判斷出⑤正確；過點(diǎn)M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，過點(diǎn)M作GH∥AB，過點(diǎn)O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出BO，然后利用勾股定理逆定理判斷出∠BMO=90°，從而判斷出③正確．

解答：解：在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，
∵E、F分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，
∴AE=BF=

1

2

BC，
在△ABF和△DAE中，

AE=BF ∠ABC=∠BAD AB=AD

，
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠BAF=∠ADE，
∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，
∴∠AMD=180°-（∠ADE+∠DAF）=180°-90°=90°，
∴∠AME=180°-∠AMD=180°-90°=90°，故①正確；

∵DE是△ABD的中線，
∴∠ADE≠∠EDB，
∴∠BAF≠∠EDB，故②錯(cuò)誤；

∵∠BAD=90°，AM⊥DE，
∴△AED∽△MAD∽△MEA，
∴

AM

EM

=

MD

AM

=

AD

AE

=2，
∴AM=2EM，MD=2AM，
∴MD=2AM=4EM，故④正確；

設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，則BF=a，
在Rt△ABF中，AF=

AB2+BF2

=

(2a)2+a2

=

5

a，
∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，
∴△AME∽△ABF，
∴

AM

AB

=

AE

AF

，
即

AM

2a

=

a

5 a

，
解得AM=

2 5

5

a，
∴MF=AF-AM=

5

a-

2 5

5

a=

3 5

5

a，
∴AM=

2

3

MF，故⑤正確；

如圖，過點(diǎn)M作MN⊥AB于N，
則

MN

BF

=

AN

AB

=

AM

AF

，
即

MN

a

=

AN

2a

=

2 5 5 a

5 a

，
解得MN=

2

5

a，AN=

4

5

a，
∴NB=AB-AN=2a-

4

5

a=

6

5

a，
根據(jù)勾股定理，BM=

NB2+MN2

=

( 6 5 a)2+( 2 5 a)2

=

2 10

5

a，
過點(diǎn)M作GH∥AB，過點(diǎn)O作OK⊥GH于K，
則OK=a-

2

5

a=

3

5

a，MK=

6

5

a-a=

1

5

a，
在Rt△MKO中，MO=

MK2+OK2

=

( 1 5 a)2+( 3 5 a)2

=

10

5

a，
根據(jù)正方形的性質(zhì)，BO=2a×

2

2

=

2

a，
∵BM²+MO²=（

2 10

5

a）²+（

10

5

a）²=2a²，
BO²=（

2

a）²=2a²，
∴BM²+MO²=BO²，
∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①③④⑤共4個(gè)．
故選B．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，勾股定理逆定理的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大，仔細(xì)分析圖形并作出輔助線構(gòu)造出直角三角形與相似三角形是解題的關(guān)鍵．