Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣4x+n（x＞0）的圖象記為G1，將G1繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到圖象G2，圖象G1和G2合起來記為圖象G．

（1）若點(diǎn)P（﹣1，2）在圖象G上，求n的值．

（2）當(dāng)n＝﹣1時(shí)．

①若Q（t，1）在圖象G上，求t的值．

②當(dāng)k≤x≤3（k＜3）時(shí)，圖象G對應(yīng)函數(shù)的最大值為5，最小值為﹣5，直接寫出k的取值范圍．

（3）當(dāng)以A（﹣3，3）、B（﹣3，﹣1）、C（2，﹣1）、D（2，3）為頂點(diǎn)的矩形ABCD的邊與圖象G有且只有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）n的值為﹣3或1；（2）①t＝2±或﹣4或0，②﹣2﹣≤k≤﹣2；（3）當(dāng)n＝0，n＝5，1＜n＜3時(shí)，矩形ABCD的邊與圖象G有且只有三個(gè)公共點(diǎn)．

【解析】

（1）先確定圖像G2的頂點(diǎn)坐標(biāo)和解析式，然后就P分別在圖象G1和G2上兩種情況討論求解即可；

（2）①先分別求出圖象G1和G2的解析式，然后就P分別在圖象G1和G2上兩種情況討論求解即可；

②結(jié)合圖像如圖1，即可確定k的取值范圍；

（3）結(jié)合圖像如圖2，根據(jù)分n的取值范圍分類討論即可求解．

（1）∵拋物線y＝x2﹣4x+n＝（x﹣2）2+n﹣4，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，n﹣4），

∵將G1繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到圖象G2，

∴圖象G2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣n+4），

∴圖象G2的解析式為：y＝﹣（x+2）2+4﹣n，

若點(diǎn)P（﹣1，2）在圖象G1上，

∴2＝9+n﹣4，

∴n＝﹣3；

若點(diǎn)P（﹣1，2）在圖象G2上，

∴2＝﹣1+4﹣n，

∴n＝1；

綜上所述：點(diǎn)P（﹣1，2）在圖象G上，n的值為﹣3或1；

（2）①當(dāng)n＝﹣1時(shí)，則圖象G1的解析式為：y＝（x﹣2）2﹣5，圖象G2的解析式為：y＝﹣（x+2）2+5，

若點(diǎn)Q（t，1）在圖象G1上，

∴1＝（t﹣2）2﹣5，

∴t＝2±，

若點(diǎn)Q（t，1）在圖象G2上，

∴1＝﹣（t+2）2+5，

∴t1＝﹣4，t2＝0

②如圖1，

當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣5，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝5，

對于圖象G1，在y軸右側(cè)，當(dāng)y＝5時(shí)，則5＝（x﹣2）2﹣5，

∴x＝2+＞3，

對于圖象G2，在y軸左側(cè)，當(dāng)y＝﹣5時(shí)，則﹣5＝﹣（x+2）2+5，

∴x＝﹣2﹣，

∵當(dāng)k≤x≤3（k＜3）時(shí)，圖象G對應(yīng)函數(shù)的最大值為5，最小值為﹣5，

∴﹣2﹣≤k≤﹣2；

（3）如圖2，

∵圖象G2的解析式為：y＝﹣（x+2）2+4﹣n，圖象G1的解析式為：y＝（x﹣2）2+n﹣4，

∴圖象G2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣n+4），與y軸交點(diǎn)為（0，﹣n），圖象G1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，n﹣4），與y軸交點(diǎn)為（0，n），

當(dāng)n≤﹣1時(shí)，圖象G1與矩形ABCD最多1個(gè)交點(diǎn)，圖象G2與矩形ABCD最多1交點(diǎn)，

當(dāng)﹣1＜n＜0時(shí)，圖象G1與矩形ABCD有1個(gè)交點(diǎn)，圖象G2與矩形ABCD有3交點(diǎn)，

當(dāng)n＝0時(shí)，圖象G1與矩形ABCD有1個(gè)交點(diǎn)，圖象G2與矩形ABCD有2交點(diǎn)，共三個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)0＜n≤1時(shí)，圖象G1與矩形ABCD有1個(gè)交點(diǎn)，圖象G2與矩形ABCD有1交點(diǎn)，

當(dāng)1＜n＜3時(shí)，圖象G1與矩形ABCD有1個(gè)交點(diǎn)，圖象G2與矩形ABCD有2交點(diǎn)，共三個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)3≤n＜7時(shí)，圖象G1與矩形ABCD有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)3≤n＜5時(shí)，圖象G2與矩形ABCD有2個(gè)交點(diǎn)，n＝5時(shí)，圖象G2與矩形ABCD有1個(gè)交點(diǎn)，n＞5時(shí)，沒有交點(diǎn)，

∵矩形ABCD的邊與圖象G有且只有三個(gè)公共點(diǎn)，

∴n＝5，

當(dāng)n≥7時(shí)，圖象G1與矩形ABCD最多1個(gè)交點(diǎn)，圖象G2與矩形ABCD沒有交點(diǎn)，

綜上所述：當(dāng)n＝0，n＝5，1＜n＜3時(shí)，矩形ABCD的邊與圖象G有且只有三個(gè)公共點(diǎn)．