【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,點C是⊙O上一點,AD與過點C的切線垂直,垂足為點D,直線DC與AB的延長線相交于點P,弦CE平分∠ACB,交AB于點F,連接BE.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)求證:△PCF是等腰三角形;
(3)若AF=6,EF=2,求⊙O的半徑長.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)4
【解析】
(1)根據(jù)切線的性質得OC⊥AD,而AD⊥DP,則肯定判斷OC∥AD,根據(jù)平行線的性質得∠DAC=∠OCA,加上∠OAC=∠OCA,所以∠OAC=∠DAC;
(2)根據(jù)圓周角定理由AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°,則∠BCE=45°,再利用圓周角定理得∠BOE=2∠BCE=90°,則∠OFE+∠OEF=90°,易得∠CFP+∠OEF=90°,再根據(jù)切線的性質得到∠OCF+∠PCF=90°,而∠OCF=∠OEF,根據(jù)等角的余角相等得到∠PCF=∠CFP,于是可判斷△PCF是等腰三角形;
(3)連結OE.由AB為⊙O的直徑,得到∠ACB=90°,根據(jù)角平分線的定義得到∠BCE=45°,設⊙O的半徑為r,則OF=6-r,根據(jù)勾股定理列方程即可得到結論.
(1)證明:∵PD為⊙O的切線,
∴OC⊥DP,
∵AD⊥DP,
∴OC∥AD,
∴∠DAC=∠OCA,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠OAC=∠DAC,
∴AC平分∠DAB;
(2)證明:∵AB為⊙O的直徑,
∴∠ACB=90°,
∵CE平分∠ACB,
∴∠BCE=45°,
∴∠BOE=2∠BCE=90°,
∴∠OFE+∠OEF=90°,
而∠OFE=∠CFP,
∴∠CFP+∠OEF=90°,
∵OC⊥PD,
∴∠OCP=90°,即∠OCF+∠PCF=90°,
而∠OCF=∠OEF,
∴∠PCF=∠CFP,
∴△PCF是等腰三角形;
(3)解:連結OE.
∵AB為⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,
∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=45°,
∴∠BOE=90°,即OE⊥AB,
設⊙O的半徑為r,則OF=6-r,
在Rt△EOF中,∵OE2+OF2=EF2,
∴r2+(6-r)2=(2)2,
解得,r1=4,r2=2,
當r1=4時,OF=6-r=2(符合題意),
當r2=2時,OF=6-r=4(不合題意,舍去),
∴⊙O的半徑r=4.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,點A(0,2),B(p,q)在直線上,拋物線m經(jīng)過點B、C(p+4,q),且它的頂點N在直線l上.
(1)若B(-2,1),
①請在平面直角坐標系中畫出直線l與拋物線m的示意圖;
②設拋物線m上的點Q的模坐標為e(-2≤e≤0)過點Q作x軸的垂線,與直線l交于點H.若QH=d,當d隨e的增大面增大時,求e的取值范圍;
(2)拋物線m與y軸交于點F,當拋物線m與x軸有唯一交點時,判斷△NOF的形狀并說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,OA⊥OB,AB⊥x軸于點C,點A(,1)在反比例函數(shù)y=的圖象上.
(1)求反比例函數(shù)y=的表達式;
(2)在x軸上是否存在一點P,使得S△AOP=S△AOB,若存在,求所有符合條件點P的坐標;若不存在,簡述你的理由.
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【題目】合肥周谷堆農(nóng)副產(chǎn)品批發(fā)市場某商鋪購進一批紅薯,通過商店批發(fā)和在淘寶網(wǎng)上進行銷售.首月進行了銷售情況的統(tǒng)計,其中商店日批發(fā)量(百斤)與時間(為整數(shù),單位:天)的部分對應值如下表所示;在淘寶網(wǎng)上的日銷售量(百斤)與時間(為整數(shù),單位:天)的部分對應值如圖所示.
時間(天) | 0 | 5 | 10 | 150 | 20 | 25 | 30 |
日批發(fā)量(百斤) | 025 | 40 | 45 | 40 | 25 | 0 |
(1)請你在一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)中,選擇合適的函數(shù)能反映與的變化規(guī)律,求出與之間的函數(shù)關系式;
(2)求與之間的函數(shù)關系式;
(3)設這個月中,日銷售總量為,求出與之間的函數(shù)關系式,并求出當為何值時,日銷售總量最大,最大值為多少?
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,過B,C兩點的⊙O交AC于點D,交AB于點E,連接EO并延長交⊙O于點F.連接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=,則AE2+BE2的值為 ( )
A. 8 B. 12 C. 16 D. 20
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【題目】小明和小亮玩一個游戲:三張大小、質地都相同的卡片上分別標有數(shù)字2,3,4(背面完全相同),現(xiàn)將標有數(shù)字的一面朝下.小明從中任意抽取一張,記下數(shù)字后放回洗勻,然后小亮從中任意抽取一張,計算小明和小亮抽得的兩個數(shù)字之和.若和為奇數(shù),則小明勝;若和為偶數(shù),則小亮勝.
(1)請你用畫樹狀圖或列表的方法,求出這兩數(shù)和為6的概率.
(2)你認為這個游戲規(guī)則對雙方公平嗎?說說你的理由.
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【題目】某超市銷售一種水果,迸價為每箱40元,規(guī)定售價不低于進價.現(xiàn)在的售價為每箱72元,每月可銷售60箱.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):若這種牛奶的售價每降低2元,則每月的銷量將增加10箱,設每箱水果降價x元(x為偶數(shù)),每月的銷量為y箱.
(1)寫出y與x之間的函數(shù)關系式和自變量x的取值范圍.
(2)若該超市在銷售過程中每月需支出其他費用500元,則如何定價才能使每月銷售水果的利潤最大?最大利潤是多少元?
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【題目】如圖,平行四邊形ABCD中,點E在邊AD上,以BE為折痕,將△ABE向上翻折,點A正好落在邊CD上的點F處,若△DEF的周長為8,△CBF的周長為18,則FC的長為_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC為等腰三角形,AB=AC,D為△ABC內(nèi)一點,連接AD,將線段AD繞點A旋轉至AE,使得∠DAE=∠BAC,F(xiàn),G,H分別為BC,CD,DE的中點,連接BD,CE,GF,GH.
(1)求證:GH=GF;
(2)試說明∠FGH與∠BAC互補.
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