Question

如圖，二次函數y=a（x²-3x-4）（其中a＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且tan∠BAC=2．
（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）若以AC、BC為鄰邊作?ACBD，則D點關于x的對稱點D′是否在該函數的圖象上，為什么？
（3）在（2）的條件下過D′的直線將?ACBD的面積二等分，求這條直線的表達式．

Answer 1

解：（1）△ABC是直角三角形．
理由如下：令y=0，則a（x²-3x-4）=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
所以，點A（-1，0），B（4，0），
∴OA=1，OB=4，
∵tan∠BAC=2，
∴=2，
即=2，
解得OC=2，
∵=，==，
∴=，
又∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（2）由（1）可知OC=2，
所以，點C（0，-2），
把點C坐標代入y=a（x²-3x-4）得，-4a=-2，解得a=，
所以，二次函數解析式為y=（x²-3x-4），
∵?ACBD以AC、BC為鄰邊，
∴AB、CD互相平分，
∵點A（-1，0），B（4，0），（-1+4）=1.5，
∴AB的中點坐標為（1.5，0），
∴點D的坐標為（3，2），
∵點D′與點D關于x軸對稱，
∴點D′（3，-2），
當x=3時，y=（3²-3×3-4）=-2，
所以，點D′在該函數的圖象；

（3）∵過平行四邊形中心的直線把平行四邊形分成面積相等的兩部分，
∴所求直線過點（1.5，0），（3，-2），
設直線解析式為y=kx+b，
則，
解得，
所以，直線解析式為y=-x+2．
分析：（1）令y=0，解方程求出A、B的坐標，從而得到OA、OB的長度，再根據∠BAC的正切值求出OC的長度，然后根據兩邊對應成比例夾角相等判定△AOC和△COB相似，根據相似三角形對應角相等可得∠ACO=∠CBO，然后求出∠ACB=90°，即可得解；
（2）根據（1）中OC的長度求出點C的坐標，然后利用待定系數法求出二次函數解析式，再根據平行四邊形的對角線互相平分，先求出AB的中點坐標，然后利用中點公式求出點D的坐標，根據關于x軸對稱的點的橫坐標相同，縱坐標互為相反數求出點D′的坐標，最后代入二次函數解析式進行驗證即可；
（3）根據過平行四邊形中心的直線把平行四邊形分成面積相等的兩部分，可知所求直線必過點D′與平行四邊形中心，然后利用待定系數法求一次函數解析式求解即可．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了二次函數與x軸的交點坐標的求解，相似三角形的判定與性質，平行四邊形對角線互相平分的性質，關于x軸的對稱點的坐標，以及待定系數法求函數解析式（二次函數與直線解析式），掌握過平行四邊形中心的直線把平行四邊形分成面積相等的兩部分是解本題的關鍵．