Question

【題目】如圖，在頂點為P的拋物線 的對稱軸l上取 ，過A作 交拋物線于B,C兩點(B在C左側)，點和點A關于點P對稱，過作 ，又分別過B,C作 ，垂足為E,D，在這里我們把點A叫拋物線的焦點，BC叫拋物線的直徑，矩形BCDE叫拋物線的焦點矩形．

(1)直接寫出拋物線 的焦點坐標及其直徑；

(2)求拋物線 的焦點坐標及其直徑；

(3)已知拋物線的直徑為 ，求a的值；

(4)①已知拋物線 的焦點矩形的面積為2，求a的值；

②直接寫出拋物線的焦點矩形與拋物線 有兩個公共點時m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (0，1)，4；(2) (3，3)，4；(3) ；(4)① ；② 或

【解析】

(1)根據題意可以求得拋物線 的焦點坐標及其直徑；

(2)根據題意可以求得拋物線 的焦點坐標及其直徑；

(3)根據題意和拋物線的直徑為 ，列方程即求a的值；

(4)①根據題意和拋物線的焦點矩形的面積為2，列方程即求的值；
②根據(2)中的結果和圖形可以求得拋物線的焦點矩形與拋物線 有兩個公共點時m的取值范圍．

(1)∵拋物線中，，，，

∴此拋物線焦點的橫坐標是，，縱坐標是：，

∴拋物線的焦點坐標為(0，1)，

將代入得：，

∴此拋物線的直徑是：；

(2)∵拋物線中，，，，

∴此拋物線焦點的橫坐標是，，縱坐標是：，

∴拋物線的焦點坐標為(3，3)，

將代入得：，

∴此拋物線的直徑是：；

(3)∵拋物線的焦點為A(，)，

∴，

解得：，

∴此拋物線的直徑是：；

解得：，

∴的值是；

(4)設拋物線解析式為：，

①由(3)得，BC，

焦點為A(，)，頂點為P(，)，

∴，

根據題意：，

解得：，

∴的值是；

②當 或時，有兩個公共點，

理由：由(2)知拋物線的焦點矩形頂點坐標分別為：
B(1，3)，C(5，3)，E(1，1)，D(5，1)，

當過B(1，3)時，

解得：或(舍去)，

過C(5，3)時，或(舍去)，

由圖可知，公共點個數隨m的變化關系為：

當時，無公共點；
當時，1個公共點；
當時，2個公共點；
當時，3個公共點；
當時，有2個公共點；

當時，1個公共點；

當時，無公共點；
由上可得，當或時，有2個公共點．