Question

【題目】對(duì)于平面中給定的一個(gè)圖形及一點(diǎn) P，若圖形上存在兩個(gè)點(diǎn) A、B，使得△PAB 是邊長(zhǎng)為 2 的等邊三角形，則稱點(diǎn) P 是該圖形的一個(gè)“美好點(diǎn)”．

（1）若將 x 軸記作直線 l，下列函數(shù)的圖象上存在直線 l 的“美好點(diǎn)”的是 （只填選項(xiàng)）

A．正比例函數(shù) y x

B．反比例函數(shù) y

C．二次函數(shù) y x 2

（2）在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，若點(diǎn) M (n, 0) ， N (0, n) ，其中n0 ，⊙O 的半徑為 r．

①若r 2，⊙O 上恰好存在 2 個(gè)直線 MN 的“美好點(diǎn)”，求 n 的取值范圍；

②若n4 ，線段 MN 上存在⊙O 的“美好點(diǎn)”，直接寫出 r 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A，B　　（2）①2＜＜6，②．

【解析】

（1）把每個(gè)函數(shù)的圖像畫好，利用美好點(diǎn)的定義畫出符合條件的等邊直接可以作出判斷．

（2）①弄懂題意，將直線MN沿軸平移，利用空間想象能力找到一個(gè)美好點(diǎn)時(shí)，三個(gè)美好點(diǎn)時(shí)的模型，然后利用不等式組求得的范圍．

②沿①問(wèn)的思路直接列出不等式求解．

解：（1）如下圖：P是直線的美好點(diǎn)，則是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，過(guò)P作 垂足為D，則又P是直線上的點(diǎn)，所以，所以，所以，所以上存在的美好點(diǎn)．故A正確．

如下圖：P是直線的美好點(diǎn)，則是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，過(guò)P作 垂足為D，則又P是直線上的點(diǎn)，所以P的縱坐標(biāo)是，把縱坐標(biāo)代入函數(shù)解析式的橫坐標(biāo)為 所以，所以上存在的美好點(diǎn)．故B正確．

如下圖，拋物線的頂點(diǎn)C（0，2），所以上的點(diǎn)與上的點(diǎn)之間最短距離是2，所以上不存在的美好點(diǎn)．

故答案為A，B．

（2）①如圖，當(dāng)直線MN與⊙O相離時(shí)，因?yàn)?/span>M (n, 0) ， N (0, n)（）所以直線MN的解析式為：，，

將直線NN平移到與⊙O相切，切點(diǎn)為E，與軸交于點(diǎn)C，連接OE，延長(zhǎng)OE與MN交于點(diǎn)D，則，當(dāng)E為MN的美好點(diǎn)時(shí)，此時(shí)⊙O 上存在一個(gè)MN的美好點(diǎn)，此時(shí)ED＝，所以當(dāng)⊙O上恰好存在MN的兩個(gè)美好點(diǎn)，則，

又由 所以，所以，

所以，解得： ．

當(dāng)直線MN與⊙O相交時(shí)，如下圖，同理當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性知道⊙O上存在MN的三個(gè)美好點(diǎn)，然后會(huì)出現(xiàn)四個(gè)美好點(diǎn)，所以此時(shí)，此時(shí)，所以，解得：．綜上的取值范圍為： ．

②如下圖，當(dāng)n4，則M (, 0) ， N (0, 4)，此時(shí)，將直線NN平移到與⊙O相切，切點(diǎn)為E，與軸交于點(diǎn)C，連接OE，延長(zhǎng)OE與MN交于點(diǎn)D，則，當(dāng)E為MN的美好點(diǎn)時(shí)，此時(shí)⊙O 上存在一個(gè)MN的美好點(diǎn)，此時(shí)ED＝，若線段 MN 上存在⊙O 的“美好點(diǎn)”，則 ，

所以，解得：