【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+cx軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,2)

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M,點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,試問在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△BMP與△ABD相似?若存在,請(qǐng)求出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+x+2;(2)滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,)或(,﹣)或(,5)或(,﹣5).

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法求拋物線的表達(dá)式;

(2)使△BMP與△ABD相似的有三種情況,分別求出這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A(﹣1,0),B(4,0),

∴設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣4),

∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,2),

a×1×(﹣4)=2,

a=﹣,

∴拋物線的解析式為y=﹣(x+1)(x﹣4)=﹣x2+x+2;

(2)如圖1,連接CD,∵拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2,

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=,

M(,0),∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,且C(0,2),

D(3,﹣2),

MA=MB,MC=MD,

∴四邊形ACBD是平行四邊形,

A(﹣1,0),B(4,0),C(3,﹣22),

AB2=25,BD2=(4﹣1)2+22=5,AD2=(3+1)2+22=20,

AD2+BD2=AB2,

∴△ABD是直角三角形,

∴∠ADB=90°,

設(shè)點(diǎn)P(,m),

MP=|m|,

M(,0),B(4,0),

BM=,

∵△BMP與△ABD相似,

∴①當(dāng)△BMPADB時(shí),

,

m=±,

P()或(,﹣),

②當(dāng)△BMP∽△BDA時(shí),

,

m=±5,

P(,5)或(,﹣5),

即:滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(,)或(,﹣,5)或(,﹣5).

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(1)最大的四位言唯一數(shù)   ,最小的三位言唯一數(shù)   ;

(2)證明:對(duì)于任意的四位言唯一數(shù)”m,m+m'能被11整除;

(3)設(shè)四位言唯一數(shù)”n=1000x+100y+10y+1(2≤x≤9,0≤y≤9y≠1,x、y均為整數(shù)),若F(n)仍然為言唯一數(shù)”,求所有滿足條件的四位言唯一數(shù)”n.

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1如圖2,求出拋物線完美三角形斜邊AB的長;

拋物線完美三角形的斜邊長的數(shù)量關(guān)系是 ;

2)若拋物線完美三角形的斜邊長為4,求a的值;

3)若拋物線完美三角形斜邊長為n,且的最大值為-1,求mn的值.

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(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)的過程中,DEF的大小是否發(fā)生變化?如果變化,請(qǐng)說明理由;如果不變,請(qǐng)求出tan∠DEF的值.

(3)連結(jié)AD,當(dāng)ADDEF分成的兩部分的面積之比為1:2時(shí),求相應(yīng)的t的值.

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