【題目】在 中,,點(diǎn) 為的中點(diǎn).
(1)如圖1,E為線段DC上任意一點(diǎn),將線段繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段,連接 ,過點(diǎn)F作,交直線 于點(diǎn) .判斷 與的數(shù)量關(guān)系并加以證明;
(2)如圖2,若為線段的延長線上任意一點(diǎn),(1)中的其他條件不變,你在(1)中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變,直接寫出你的結(jié)論,不必證明.
【答案】(1)FH=FC.理由見解析;(2)FH與FC仍然相等.理由見解析
【解析】
(1)延長DF交AB于點(diǎn)G,根據(jù)三角形中位線的判定得出點(diǎn)G為AB的中點(diǎn),根據(jù)中位線的性質(zhì)及已知條件AC=BC,得出DC=DG,從而EC=FG,易證∠1=∠2=90°-∠DFC,∠CEF=∠FGH=135°,由AAS證出△CEF≌△FGH.∴CF=FH.
(2)通過證明△CEF≌△FGH(ASA)得出.
(1)FH與FC的數(shù)量關(guān)系是:FH=FC.
證明如下:延長DF交AB于點(diǎn)G,
由題意,知∠EDF=∠ACB=90°,DE=DF,
∴DG∥CB,
∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),
∴點(diǎn)G為AB的中點(diǎn),且DC=AC,
∴DG為△ABC的中位線,
∴DG=BC.
∵AC=BC,
∴DC=DG,
∴DC-DE=DG-DF,
即EC=FG.
∵∠EDF=90°,FH⊥FC,
∴∠1+∠CFD=90°,∠2+∠CFD=90°,
∴∠1=∠2.
∵△DEF與△ADG都是等腰直角三角形,
∴∠DEF=∠DGA=45°,
∴∠CEF=∠FGH=135°,
∴△CEF≌△FGH,
∴CF=FH.
(2)FH與FC仍然相等.
理由:由題意可得出:DF=DE,
∴∠DFE=∠DEF=45°,
∵AC=BC,
∴∠A=∠CBA=45°,
∵DF∥BC,
∴∠CBA=∠FGB=45°,
∴∠FGH=∠CEF=45°,
∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),DF∥BC,
∴DG=BC,DC=AC,
∴DG=DC,
∴EC=GF,
∵∠DFC=∠FCB,
∴∠GFH=∠FCE,
在△FCE和△HFG中
,
∴△FCE≌△HFG(ASA),
∴HF=FC.
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【題目】放風(fēng)箏是大家喜愛的一種運(yùn)動(dòng),星期天的上午小明在市政府廣場上放風(fēng)箏.如圖,他在A處不小心讓風(fēng)箏掛在了一棵樹梢上,風(fēng)箏固定在了D處,此時(shí)風(fēng)箏線AD與水平線的夾角為30°,為了便于觀察,小明迅速向前邊移動(dòng),收線到達(dá)了離A處10米的B處,此時(shí)風(fēng)箏線BD與水平線的夾角為45°.已知點(diǎn)A,B,C在同一條水平直線上,請(qǐng)你求出小明此時(shí)所收回的風(fēng)箏線的長度是多少米?(風(fēng)箏線AD,BD均為線段,≈1.414,≈1.732,最后結(jié)果精確到1米).
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(1)當(dāng)射線CP與△ABC的外接圓相切時(shí),求射線CP旋轉(zhuǎn)度數(shù)是多少?
(2)當(dāng)射線CP分別經(jīng)過△ABC的外心、內(nèi)心時(shí),點(diǎn)E處的讀數(shù)分別是多少?
(3)當(dāng)旋轉(zhuǎn)7.5秒時(shí),連接BE,求證:BE=CE.
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【題目】如圖,已知:,點(diǎn)、、…在射線上,點(diǎn)、、…在射線上,、、…均為等邊三角形,若,則的邊長為( )
A.6B.12C.16D.32
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【題目】如圖,有一直角三角形紙片,邊,,,將該直角三角形紙片沿折疊,使點(diǎn)與點(diǎn)重合,則四邊形的周長為______.
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(1)判斷直線DC與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若HB=2,cosD=,請(qǐng)求出AC的長.
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