Question

【題目】如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCM的平分線(xiàn)CF于點(diǎn)F．

（1）圖1中若點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，我們可以構(gòu)造兩個(gè)三角形全等來(lái)證明AE=EF，請(qǐng)敘述你的一個(gè)構(gòu)造方案，并指出是哪兩個(gè)三角形全等（不要求證明）；

（2）如圖2，若點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上滑動(dòng)（不與點(diǎn)B，C重合）．

①AE=EF是否一定成立？說(shuō)出你的理由；

②在如圖2所示的直角坐標(biāo)系中拋物線(xiàn)y=ax2+x+c經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)E滑動(dòng)到某處時(shí)，點(diǎn)F恰好落在此拋物線(xiàn)上，求此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（，）

【解析】

試題分析：（1）由于∠AEF=90°，故∠FEC=∠EAB，而E是BC中點(diǎn)，從而只需取AB點(diǎn)G，連接EG，則有AG=CE，BG=BE，∠AGE=∠ECF，易得△AGE≌△ECF；

（2）①由于AB=BC，所以只要AG=EC就有BG=BE，就同樣可得△AGE≌△ECF，于是截取AG=EC，證全等即可；

②根據(jù)A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)求出拋物線(xiàn)解析式，設(shè)出F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示，將F點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式即可求出坐標(biāo)．

解：（1）如圖1，取AB的中點(diǎn)G，連接EG．△AGE≌△ECF．

（2）①若點(diǎn)E在線(xiàn)段BC上滑動(dòng)時(shí)AE=EF總成立．

證明：如圖2，在AB上截取AG=EC．

∵AB=BC，

∴BG=BE，

∴△GBE是等腰直角三角形，

∴∠AGE=180°﹣45°=135°，

∵CF平分正方形的外角，

∴∠ECF=135°，

∴∠AGE=∠ECF，

而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△AGE≌△ECF，

∴AE=EF．

②由題意可知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（0，1），D（1，1）兩點(diǎn)，

∴，解得，

∴拋物線(xiàn)解析式為y=﹣x2+x+1，

過(guò)點(diǎn)F作FH⊥x軸于H，

由①知，F(xiàn)H=BE=CH，設(shè)BH=a，則FH=a﹣1，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（a，a﹣1），

∵點(diǎn)F恰好落在拋物線(xiàn)y=﹣x2+x+1上，

∴a﹣1=﹣a2+a+1，

∴a=（負(fù)值不合題意，舍去），

點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（，）.