【題目】已知△ABC與△ADE都是等腰直角三角形,ACB=ADE=90°,AC=BC=4,AD=DE,點(diǎn)FBE的中點(diǎn),連接DFCF.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)DAB上,且點(diǎn)EAC的中點(diǎn)時(shí),求CF的長(zhǎng).
(2)如圖1,若點(diǎn)D落在AB上,點(diǎn)E落在AC上,證明:DFCF.
(3)如圖2,當(dāng)ADAC,且E點(diǎn)落在AC上時(shí),判斷DFCF之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由.

【答案】(1) CF=;(2)見解析; (3)DFCF相等且垂直.證明見解析.

【解析】

1)在直角△BCE中,利用勾股定理和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答;
2)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知DF=BF,根據(jù)∠DFE=2DCF,∠BFE=2BCF,得到∠EFD+EFB=2DCB=90°DFBF;
3DFCF相等且垂直.如圖2,延長(zhǎng)DEBC于點(diǎn)G,連接FG,易證DGBC.構(gòu)建矩形ADGC,結(jié)合矩形的性質(zhì)推知△DEF≌△CGF,由該全等三角形的性質(zhì)推知:DFCF相等且垂直.

(1)如圖1,∵AC=BC=4,點(diǎn)EAC的中點(diǎn),

EC=2.
在直角△BCE,BE2=BC2+CE2=20,
BE=.
CF是直角△BCE斜邊上的中線,
CF==
(2)證明:如圖1,∵∠ACB=ADE=90°,點(diǎn)FBE中點(diǎn)


DF=BE,CF=BE,
DF=CF.
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°
BF=DF,
∴∠DBF=BDF,
∵∠DFE=ABE+BDF,
∴∠DFE=2DBF,
同理得:∠CFE=2CBF,
∴∠EFD+EFC=2DBF+2CBF=2ABC=90°,
DFCF.
(3)DFCF相等且垂直.
如圖2,延長(zhǎng)DEBC于點(diǎn)G,連接FG,易證DGBC.


∵∠DEA=45°,
∴∠BEG=45°,DEF=135°.
又∵∠B=45°
BG=EG.
∵點(diǎn)FBE的中點(diǎn),
FG=FE,FGBE,EGF=45°,
∴∠FGC=EGF+EGC=135°
∴∠DEF=CGF.
又∵∠ADE=90°,ACB=90°,DGBC,
∴四邊形ADGC是矩形,
AD=GC,
DE=GC,
∴△DEF≌△CGFSAS,
∴∠DFE=CFG,DF=CF.
∵∠DFE+CFE=90°,
CFDF
DFCF相等且垂直.

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