Question

【題目】已知，如圖，和是等腰直角三角形，于點取的中點連接并延長交于．連接．

①直接寫出：與的位置關系是________，與的數(shù)量關系是 ；

②請任意選擇上述關系中的一個加以證明．

已知，，若與交于點求的長．

Answer 1

【答案】（1）①；②見解析；（2）．

【解析】

(1)①根據(jù)和是等腰直角三角形，得到∠ABC=∠ACB=45°，根據(jù)，得到∠ECB=∠CED=90°，推出ED∥BC，證得∠EDN=∠MBN，從而證明△BMN≌△DEN，得到BM=EC，再證明△ABM≌△ACE，推出△MAE是等腰直角三角形，得到；

②如①的證明過程；

過點作于點得到四邊形是正方形，由勾股定理求出， ，得到，由勾股定理求出，根據(jù)證得△DEF∽△BCF，求出DF的長度.

(1)①∵和是等腰直角三角形，

∴AB=AC，EC=ED，∠BAC=∠CED=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵，

∴∠ECB=∠CED=90°，

∴ED∥BC，

∴∠EDN=∠MBN，

∵N是BD的中點，

∴BN=DN，

∵∠BNM=∠END，

∴△BMN≌△DEN，

∴BM=DE，MN=EN，

∴BM=EC，

∵∠ECB=90°，∠ACB=45°，

∴∠ACE=∠ABC=45°，

∵AB=AC，

∴△ABM≌△ACE，

∴AM=AE，∠BAM=∠CAE，

∵∠BAM+∠CAM=90°，

∴∠MAE=∠CAE+∠CAM=90°，

∴△MAE是等腰直角三角形，

∵MN=NE，

∴，

故答案為：；

選給予證明：

，

點是的中點，

在和中，

，

，

；

∵△ABC和是等腰直角三角形，

，，

；

，

在和中，

，，

即；

又．

，

(說明：由可得)；

過點作于點

則四邊形是正方形，

，

在等腰直角中，

，

在直角中，由勾股定理得.

由得

，

，

.