Question

【題目】如圖，Rt△AOB的直角邊OA在x軸上，OA=2，AB=1，將Rt△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△COD，拋物線(xiàn)y=﹣ x2+bx+c經(jīng)過(guò)B、D兩點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）連接BD，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，直線(xiàn)OP把△BOD的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵Rt△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△COD，

∴CD=AB=1、OA=OC=2，

則點(diǎn)B（2，1）、D（﹣1，2），代入解析式，得：

，

解得： ，

∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣ x2+ x+

（2）解：如圖，

∵直線(xiàn)OP把△BOD的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，且OB=OD，

∴DQ=BQ，即點(diǎn)Q為BD的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)Q坐標(biāo)為（ ， ），

設(shè)直線(xiàn)OP解析式為y=kx，

將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入，得： k= ，

解得：k=3，

∴直線(xiàn)OP的解析式為y=3x，

代入y=﹣ x2+ x+ ，得：﹣ x2+ x+ =3x，

解得：x=1或x=﹣4，

當(dāng)x=1時(shí)，y=3，

當(dāng)x=﹣4時(shí)，y=﹣12，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，3）或（﹣4，﹣12）

【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等，求出B、D坐標(biāo)，代入解析式即可;（2）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知OB=OD，直線(xiàn)OP把△BOD的周長(zhǎng)分成相等的兩部分，可得DQ=BQ，即點(diǎn)Q為BD的中點(diǎn)；中點(diǎn)坐標(biāo)公式是中點(diǎn)橫縱坐標(biāo)分別是端點(diǎn)橫縱坐標(biāo)和的一半，可求出Q的坐標(biāo)，求出OQ的解析式，與拋物線(xiàn)解析式聯(lián)立可求得坐標(biāo).