【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點E為線段OB上一點(不與O,B重合),作EC⊥OB,交⊙O于點C,作直徑CD,過點C的切線交DB的延長線于點P,作AF⊥PC于點F,連接CB.
(1)求證:AC平分∠FAB;
(2)求證:BC2=CECP;
(3)當(dāng)AB=4且=時,求劣弧的長度.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3).
【解析】(1)根據(jù)已知先證明∠ACF=∠ACE,再根據(jù)等角的余角相等即可證得;
(2)只要證明△CBE∽△CPB,可得即可解決問題;
(3)作BM⊥PF于M,則CE=CM=CF,設(shè)CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,利用相似三角形的性質(zhì)求出BM,求出tan∠BCM的值即可解決問題;
(1)∵AB是直徑,
∴∠ACB=90°,
∴∠BCP+∠ACF=90°,∠ACE+∠BCE=90°,
∵∠BCP=∠BCE,
∴∠ACF=∠ACE,
∵∠AFC=90°,∠AEC=90°,
∴∠FAC=∠EAC,
即AC平分∠FAB;
(2)∵OC=OB,
∴∠OCB=∠OBC,
∵PF是⊙O的切線,CE⊥AB,
∴∠OCP=∠CEB=90°,
∴∠PCB+∠OCB=90°,∠BCE+∠OBC=90°,
∴∠BCE=∠BCP,
∵CD是直徑,
∴∠CBD=∠CBP=90°,
∴△CBE∽△CPB,
∴,
∴BC2=CECP;
(3)如圖,作BM⊥PF于M.則CE=CM=CF,
設(shè)CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,
∵∠MCB+∠P=90°,∠P+∠PBM=90°,
∴∠MCB=∠PBM,
∵CD是直徑,BM⊥PC,
∴∠CMB=∠BMP=90°,
∴△BMC∽△PMB,
∴,
∴BM2=CMPM=3a2,
∴BM=a,
∴tan∠BCM=,
∴∠BCM=30°,
∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°,∠BOD=120°,
∴的長=.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑點F、C是半圓弧ABC上的三等份點,連接AC,AF,過點C作CD⊥AF交AF的延長線于點D,垂足為D.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為4,求CD的長.
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【題目】如圖,在四邊形ABCD中,∠B=50°,∠C=110°,∠D=90°,AE⊥BC,AF是∠BAD的平分線,與邊BC交于點F.求∠EAF的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,A(0,3),B(3,0),C(5,4),∠OAB=∠OBA=45°,點P為坐標(biāo)系中第一象限內(nèi)一點(不與C重合),若△BAP≌△ABC,則點P坐標(biāo)為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A(4,3)是反比例函數(shù)y=在第一象限圖象上一點,連接OA,過A作AB∥x軸,截取AB=OA(B在A右側(cè)),連接OB,交反比例函數(shù)y=的圖象于點P.
(1)求反比例函數(shù)y=的表達式;
(2)求點B的坐標(biāo);
(3)求△OAP的面積.
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【題目】如圖,正方形ABCD邊長為3,連接AC,AE平分∠CAD,交BC的延長線于點E,FA⊥AE,交CB延長線于點F,則EF的長為__________.
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【題目】本學(xué)期,大興區(qū)開展了“恰同學(xué)少年,品詩詞美韻”中華傳統(tǒng)詩詞大賽活動小江統(tǒng)計了班級30名同學(xué)四月份的詩詞背誦數(shù)量,具體數(shù)據(jù)如表所示:
詩詞數(shù)量首 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
人數(shù) | 3 | 4 | 4 | 5 | 7 | 5 | 1 | 1 |
那么這30名同學(xué)四月份詩詞背誦數(shù)量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是
A. 11,7 B. 7,5 C. 8,8 D. 8,7
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【題目】操作體驗
(1)如圖1,已知△ABC,請畫出△ABC的中線AD,并判斷△ABD與△ACD的面積大小關(guān)系.
(2)如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的邊BC在x軸上,已知點A(2,4),B(–1,0),C(3,0),試確定過點A的一條直線l,平分△ABC的面積,請寫出直線l的表達式.
綜合運用
(3)如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,如果A(1,4),B(3,2),那么在直線y=–4x+20上是否存在一點C,使直線OC恰好平分四邊形OACB的面積?若存在,請計算點C的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)為促進陽光體育運動發(fā)展,計劃購進足球、排球充實體育器材,若購買足球30個、排球20個,共需資金2600元,若購買足球40個、排球30個,共需資金3600元.
(1)求足球、排球的價格分別是多少元?
(2)若該校計劃購進這兩種球的總數(shù)是60個,學(xué)校至多能夠提供資金2800元,求最多能購買足球多少個?
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