Question

【題目】已知tan∠MON=2，矩形ABCD的邊AB在射線OM上，AD=2，AB=m，CF⊥ON，垂足為點(diǎn)F.

（1）如圖（1），作AE⊥ON，垂足為點(diǎn)E. 當(dāng)m=2時(shí)，求線段EF的長(zhǎng)度；

圖（1）

（2）如圖（2），聯(lián)結(jié)OC，當(dāng)m=2，且CD平分∠FCO時(shí)，求∠COF的正弦值；

圖（2）

（3）如圖（3），當(dāng)△AFD與△CDF相似時(shí)，求m的值.

圖（3）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）1或2或.

【解析】

（1）如圖1，延長(zhǎng)FC交OM于點(diǎn)G，證∠BCG=∠MON，在Rt△AOE中，設(shè)OE=a，可求得OA，OG，OF的長(zhǎng)，則；

（2）如圖2，延長(zhǎng)FC交OM于點(diǎn)G，由（1）得，推出，在Rt△COB中，由勾股定理求出a的值，得出OF的長(zhǎng)，可求出cos∠COF的值，進(jìn)一步推出sin∠COF的值；
（3）需分情況討論：當(dāng)D在∠MON內(nèi)部時(shí)，△FDA∽△FDC時(shí)，此時(shí)CD=AD=2，m=2；當(dāng)△FDA∽△CDF時(shí)，延長(zhǎng)CD交ON于點(diǎn)Q，過F作FP⊥CQ于P，可利用三角函數(shù)求出m的值；當(dāng)D在∠MON外部時(shí)，可利用相似的性質(zhì)等求出m的值．

解：解：（1）如圖1，

延長(zhǎng)交于點(diǎn)，

，，

，

則，

，，

在中，

設(shè)，由，

可得，則，，

；

（2）如圖2，

延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由（1）得，

平分，

，

，

，，

，

，

在中，由，

得，

解得（舍去），，

，

，

；

（3）當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，

①如圖，

時(shí)，此時(shí)，

；

②當(dāng)時(shí)，

如圖，

延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過作于，

則，

，

，

，

，

，

，

，

，

；

當(dāng)在外部時(shí)，，，

，

，，

如圖，

時(shí)，此時(shí)，

，

，

、重合，

延長(zhǎng)交于，

，，，

；

如圖，

時(shí)，設(shè)，

延長(zhǎng)交于，過作于，

，

，

，

，，，，，

，

，

，

，

，

解得，，（舍去），

，矛盾，

綜上所述：或，或．