【題目】已知AC=DC,AC⊥DC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)A,作DB⊥MN,垂足為B,連接CB.
(1)直接寫出∠D與∠MAC之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)①如圖1,猜想AB,BD與BC之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
②如圖2,直接寫出AB,BD與BC之間的數(shù)量關(guān)系;
(3)在MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)∠BCD=30°,BD=時,直接寫出BC的值.
【答案】(1)相等或互補(bǔ);(2)①BD+AB=BC;②AB﹣BD=BC;(3)BC= 或.
【解析】
(1)分為點(diǎn)C,D在直線MN同側(cè)和點(diǎn)C,D在直線MN兩側(cè),兩種情況討論即可解題,
(2)①作輔助線,證明△BCD≌△FCA,得BC=FC,∠BCD=∠FCA,∠FCB=90°,即△BFC是等腰直角三角形,即可解題, ②在射線AM上截取AF=BD,連接CF,證明△BCD≌△FCA,得△BFC是等腰直角三角形,即可解題,
(3)分為當(dāng)點(diǎn)C,D在直線MN同側(cè),當(dāng)點(diǎn)C,D在直線MN兩側(cè),兩種情況解題即可,見詳解.
解:(1)相等或互補(bǔ);
理由:當(dāng)點(diǎn)C,D在直線MN同側(cè)時,如圖1,
∵AC⊥CD,BD⊥MN,
∴∠ACD=∠BDC=90°,
在四邊形ABDC中,∠BAD+∠D=360°﹣∠ACD﹣∠BDC=180°,
∵∠BAC+∠CAM=180°,
∴∠CAM=∠D;
當(dāng)點(diǎn)C,D在直線MN兩側(cè)時,如圖2,
∵∠ACD=∠ABD=90°,∠AEC=∠BED,
∴∠CAB=∠D,
∵∠CAB+∠CAM=180°,
∴∠CAM+∠D=180°,
即:∠D與∠MAC之間的數(shù)量是相等或互補(bǔ);
(2)①猜想:BD+AB=BC
如圖3,在射線AM上截取AF=BD,連接CF.
又∵∠D=∠FAC,CD=AC
∴△BCD≌△FCA,
∴BC=FC,∠BCD=∠FCA
∵AC⊥CD
∴∠ACD=90°
即∠ACB+∠BCD=90°
∴∠ACB+∠FCA=90°
即∠FCB=90°
∴BF=
∵AF+AB=BF=
∴BD+AB=;
②如圖2,在射線AM上截取AF=BD,連接CF,
又∵∠D=∠FAC,CD=AC
∴△BCD≌△FCA,
∴BC=FC,∠BCD=∠FCA
∵AC⊥CD
∴∠ACD=90°
即∠ACB+∠BCD=90°
∴∠ACB+∠FCA=90°
即∠FCB=90°
∴BF=
∵AB﹣AF=BF=
∴AB﹣BD=;
(3)①當(dāng)點(diǎn)C,D在直線MN同側(cè)時,如圖3﹣1,
由(2)①知,△ACF≌△DCB,
∴CF=BC,∠ACF=∠ACD=90°,
∴∠ABC=45°,
∵∠ABD=90°,
∴∠CBD=45°,
過點(diǎn)D作DG⊥BC于G,
在Rt△BDG中,∠CBD=45°,BD=,
∴DG=BG=1,
在Rt△CGD中,∠BCD=30°,
∴CG=DG=,
∴BC=CG+BG=+1,
②當(dāng)點(diǎn)C,D在直線MN兩側(cè)時,如圖2﹣1,
過點(diǎn)D作DG⊥CB交CB的延長線于G,
同①的方法得,BG=1,CG=,
∴BC=CG﹣BG=﹣1
即:BC= 或,
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【題目】某農(nóng)戶承包荒山種了44棵蘋果樹.現(xiàn)在進(jìn)入第三年收獲期.收獲時,先隨意摘了5棵樹上的蘋果,稱得每棵樹摘得的蘋果重量如下(單位:千克)35 35 34 39 37
(1)在這個問題中,總體指的是?個體指的是?樣本是?樣本容量是?
(2)試根據(jù)樣本平均數(shù)去估計總體情況,你認(rèn)為該農(nóng)戶可收獲蘋果大約多少千克?
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(1)求證:四邊形ABCD是菱形;
(2)如果∠BDC=30°,DE=2,EC=3,求CD的長.
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【題目】如圖1,菱形紙片ABCD的邊長為2,∠ABC=60°,將菱形ABCD沿EF,GH折疊,使得點(diǎn)B,D兩點(diǎn)重合于對角線BD上一點(diǎn)P(如圖2),則六邊形AEFCHG面積的最大值是( )
A. B. C. 2﹣ D. 1+
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在E處,BE與AD相交于F,下列結(jié)論:①BD2=AD2+AB2
②△ABF≌△EDF ③④AD=BD·cos45°正確的是( )
A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④
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【題目】已知拋物線y=ax2+ c(a≠0).
(1)若拋物線與x軸交于點(diǎn)B(4,0),且過點(diǎn)P(1,–3),求該拋物線的解析式;
(2)若a>0,c =0,OA、OB是過拋物線頂點(diǎn)的兩條互相垂直的直線,與拋物線分別交于A、B 兩點(diǎn),求證:直線AB恒經(jīng)過定點(diǎn)(0,);
(3)若a>0,c <0,拋物線與x軸交于A,B兩點(diǎn)(A在B左邊),頂點(diǎn)為C,點(diǎn)P在拋物線上且位于第四象限.直線PA、PB與y軸分別交于M、N兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時,是否為定值?若是,試求出該定值;若不是,請說明理由.
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(1)試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若BD=,BF=2,求⊙O的半徑.
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