【題目】如圖,點(diǎn)A、B、C、D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn),AD是⊙O的直徑,過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)垂直于點(diǎn)E,連接AC、BD相交于點(diǎn)F.
(1)求證:AC平分∠BAD;
(2)若⊙O的半徑為,AC=6,求DF的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).
【解析】
(1)連接OC,先證明OC∥AE,從而得∠OCA=∠EAC,再利用OA=OC得∠OAC=∠OCA,等量代換即可證得答案;
(2)設(shè)OC交BD于點(diǎn)G,連接DC,先證明△ACD∽△AEC,從而利用相似三角形的性質(zhì)解得,再利用=cos∠FDC,代入相關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)可求得DF.
(1)證明:如圖,連接OC
∵過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)垂直于點(diǎn)E,
∴OC⊥CE,CE⊥AE
∴OC∥AE
∴∠OCA=∠EAC
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∴∠OAC=∠EAC,即AC平分∠BAD;
(2)如圖,設(shè)OC交BD于點(diǎn)G,連接DC
∵AD為直徑
∴∠ACD=90°,∠ABD=90°
∵CE⊥AE
∴DB∥CE
∵OC⊥CE
∴OC⊥BD
∴DG=BG
∵∠OAC=∠EAC,∠ACD=90°=∠E
∴△ACD∽△AEC
∴
∵⊙O的半徑為,AC=6
∴AD=7,
∴
∴
易得四邊形BECG為矩形
∴DG=BG=
∵=cos∠FDC
∴
解得:
∴DF的長(zhǎng)為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生每天的睡眠情況,某初中學(xué)校從全校 800 名學(xué)生中隨機(jī)抽取了 40 名學(xué)生,調(diào)查了他們平均每天的睡眠時(shí)間(單位: h) ,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:
9,8,10.5,7,9,8,10,9.5,8,9,9.5,7.5,9.5,9,8.5,7.5,10,9.5,8,9,
7,9.5,8.5,9,7,9,9,7.5,8.5,8.5,9,8,7.5,9.5,10,9.5,8.5,9,8,9.
在對(duì)這些數(shù)據(jù)整理后,繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表:
睡眠時(shí)間分組統(tǒng)計(jì)表 睡眠時(shí)間分布情況
組別 | 睡眠時(shí)間分組 | 人數(shù)(頻數(shù)) |
1 | 7≤t<8 | m |
2 | 8≤t<9 | 11 |
3 | 9≤t<10 | n |
4 | 10≤t<11 | 4 |
請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:
(1) m = , n = , a = , b = ;
(2)抽取的這 40 名學(xué)生平均每天睡眠時(shí)間的中位數(shù)落在 組(填組別) ;
(3)如果按照學(xué)校要求,學(xué)生平均每天的睡眠時(shí)間應(yīng)不少于 9 h,請(qǐng)估計(jì)該校學(xué)生中睡眠時(shí)間符合要求的人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是二次函數(shù)圖象的一部分,在下列結(jié)論中:①;②;③有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;④;其中正確的結(jié)論有( )
A.1個(gè)B.2 個(gè)C.3 個(gè)D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,D是⊙O上一點(diǎn),DE⊥AB于點(diǎn)E,且∠ADE=60°,C是上一點(diǎn),連結(jié)AC,CD.
(1)求∠ACD的度數(shù);
(2)證明:AD2=ABAE;
(3)如果AB=8,∠ADC=45°,請(qǐng)你編制一個(gè)計(jì)算題(不標(biāo)注新的字母),并直接給出答案.(根據(jù)編出的問(wèn)題層次,給不同的得分)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB∥CD,CD≠AB,點(diǎn)F在BC上,連DF與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G.
(1)求證:CFFG=DFBF;
(2)當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí),過(guò)F作EF∥CD交AD于點(diǎn)E,若AB=12,EF=8,求CD的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2017重慶A卷第11題)如圖,小王在長(zhǎng)江邊某瞭望臺(tái)D處,測(cè)得江面上的漁船A的俯角為40°,若DE=3米,CE=2米,CE平行于江面AB,迎水坡BC的坡度i=1:0.75,坡長(zhǎng)BC=10米,則此時(shí)AB的長(zhǎng)約為( )(參考數(shù)據(jù):sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84).
A. 5.1米 B. 6.3米 C. 7.1米 D. 9.2米
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】綜合與探究
問(wèn)題情境:
(1)如圖1,兩塊等腰直角三角板△ABC和△ECD如圖所示擺放,其中∠ACB=∠DCE=90°,點(diǎn)F,H,G分別是線(xiàn)段DE,AE,BD的中點(diǎn),A,C,D和B,C,E分別共線(xiàn),則FH和FG的數(shù)量關(guān)系是 ,位置關(guān)系是 .
合作探究:
(2)如圖2,若將圖1中的△DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A,C,E在一條直線(xiàn)上,其余條件不變,那么(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請(qǐng)證明,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)如圖3,若將圖1中的△DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角,那么(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,請(qǐng)證明,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(-4, 1),B(-1,3),C(-1,1)
(1)將△ABC以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°,畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的△;平移△ABC,若A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)為(-4,-5),畫(huà)出△;
(2)若△繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到△,直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)是__________;
(3)在x軸上有一點(diǎn)P是的PA+PB的值最小,直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)___________;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)圖形與,給出如下定義:為圖形上任意一點(diǎn),為圖形上任意一點(diǎn),如果兩點(diǎn)間的距離有最小值,那么稱(chēng)這個(gè)最小值為圖形間的“和睦距離”,記作,若圖形有公共點(diǎn),則.
(1)如圖(1),,,⊙的半徑為2,則 , ;
(2)如圖(2),已知的一邊在軸上,在上,且,,.
①是內(nèi)一點(diǎn),若、分別且⊙于E、F,且,判斷與⊙的位置關(guān)系,并求出點(diǎn)的坐標(biāo);
②若以為半徑,①中的為圓心的⊙,有,,直接寫(xiě)出的取值范圍 。
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