Question

【題目】閱讀下面材

有依次排列的個數(shù)：對任意相鄰的兩個數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個數(shù)之間，可產(chǎn)生一個新數(shù)串： 這稱為第一次操作；第二次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個新數(shù)串：繼續(xù)依次操作下去．問

有依次排開的個數(shù)： ，第一次操作后，增加的所有新數(shù)之和是多少?

在的前提下，經(jīng)過第二次操作后所得的新數(shù)串比第一次操作后所得的數(shù)串增加的所有新數(shù)之和是多少?

猜想：有依次排開的個數(shù)，第一百次操作后得到的新數(shù)串比第九十九次操作后所得的數(shù)串增加的所有新數(shù)之和是多少?

Answer 1

【答案】（1）4；（2）4；（3）.

【解析】

（1）仿造題意所給的第一次操作的模式將此時的三個數(shù)加以操作即可；

（2）根據(jù)（1）可知第一次操作后的新數(shù)串為：，據(jù)此進一步進行第二次操作即可得出第二次操作后的新數(shù)串，然后進一步計算即可；

（3）首先求出該組數(shù)第一次操作后所得的新數(shù)串的增加的新數(shù)之和，然后根據(jù)（1）、（2）中的結(jié)果發(fā)現(xiàn)其前后第一、第二相鄰兩次的操作后所得的新數(shù)串的增加的新數(shù)之和并沒有發(fā)生變化，據(jù)此進一步猜想即可.

（1）由題意得可得：

將第一次操作后所得的新數(shù)串為：，

其中增加的新數(shù)為：，

∴，

即第一次操作后，增加的所有新數(shù)之和是4；

（2）由（1）可得第一次操作后的新數(shù)串為：，

∴第二次操作后的新數(shù)串為：，

其中增加的新數(shù)為：，

∴，

即第二次操作后所得的新數(shù)串比第一次操作后所得的數(shù)串增加的所有新數(shù)之和為4；

（3）由題意得：第一次操作后可得新數(shù)串為：，

此時新增加的數(shù)為：，

∴，

即第二次操作后所得的新數(shù)串比第一次操作后所得的數(shù)串增加的所有新數(shù)之和為，

根據(jù)（1）、（2）的答案可以發(fā)現(xiàn)，其前后第一、第二次的操作后所得的新數(shù)串的增加的新數(shù)之和并沒有發(fā)生變化，

∴ 猜想凡是前后兩次相鄰操作后所得的新數(shù)串的增加的新數(shù)之和不會發(fā)生變化，

∴第一百次操作后得到的新數(shù)串比第九十九次操作后所得的數(shù)串增加的所有新數(shù)之和為：.