【題目】已知二次函數(shù)y=ax2﹣2ax+c(a<0)的最大值為4,且拋物線過點( ,﹣ ),點P(t,0)是x軸上的動點,拋物線與y軸交點為C,頂點為D.
(1)求該二次函數(shù)的解析式,及頂點D的坐標(biāo);
(2)求|PC﹣PD|的最大值及對應(yīng)的點P的坐標(biāo);
(3)設(shè)Q(0,2t)是y軸上的動點,若線段PQ與函數(shù)y=a|x|2﹣2a|x|+c的圖象只有一個公共點,求t的取值.

【答案】
(1)

解:∵y=ax2﹣2ax+c的對稱軸為:x=﹣ =1,

∴拋物線過(1,4)和( ,﹣ )兩點,

代入解析式得: ,

解得:a=﹣1,c=3,

∴二次函數(shù)的解析式為:y=﹣x2+2x+3,

∴頂點D的坐標(biāo)為(1,4);


(2)

解:∵C、D兩點的坐標(biāo)為(0,3)、(1,4);

由三角形兩邊之差小于第三邊可知:

|PC﹣PD|≤|CD|,

∴P、C、D三點共線時|PC﹣PD|取得最大值,此時最大值為,

|CD|=

由于CD所在的直線解析式為y=x+3,

將P(t,0)代入得t=﹣3,

∴此時對應(yīng)的點P為(﹣3,0)


(3)

解:y=a|x|2﹣2a|x|+c的解析式可化為:

y=

設(shè)線段PQ所在的直線解析式為y=kx+b,將P(t,0),Q(0,2t)代入得:

線段PQ所在的直線解析式:y=﹣2x+2t,

∴①當(dāng)線段PQ過點(0,3),即點Q與點C重合時,線段PQ與函數(shù)

y= 有一個公共點,此時t= ,

當(dāng)線段PQ過點(3,0),即點P與點(3,0)重合時,t=3,此時線段PQ與

y= 有兩個公共點,所以當(dāng) ≤t<3時,

線段PQ與y= 有一個公共點,

②將y=﹣2x+2t代入y=﹣x2+2x+3(x≥0)得:

﹣x2+2x+3=﹣2x+2t,

﹣x2+4x+3﹣2t=0,

令△=16﹣4(﹣1)(3﹣2t)=0,

t= >0,

所以當(dāng)t= 時,線段PQ與y= 也有一個公共點,

③當(dāng)線段PQ過點(﹣3,0),即點P與點(﹣3,0)重合時,線段PQ只與

y=﹣x2﹣2x+3(x<0)有一個公共點,此時t=﹣3,

所以當(dāng)t≤﹣3時,線段PQ與y= 也有一個公共點,

綜上所述,t的取值是 ≤t<3或t= 或t≤﹣3.


【解析】(1)先利用對稱軸公式x=﹣ 計算對稱軸,即頂點坐標(biāo)為(1,4),再將兩點代入列二元一次方程組求出解析式;
   。2)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系:可知P、C、D三點共線時|PC﹣PD|取得最大值,求出直線CD與x軸的交點坐標(biāo),就是此時點P的坐標(biāo);
   。3)先把函數(shù)中的絕對值化去,可知y= ,此函數(shù)是兩個二次函數(shù)的一部分,分三種情況進行計算:①當(dāng)線段PQ過點(0,3),即點Q與點C重合時,兩圖象有一個公共點,當(dāng)線段PQ過點(3,0),即點P與點(3,0)重合時,兩函數(shù)有兩個公共點,寫出t的取值;②線段PQ與當(dāng)函數(shù)y=a|x|2﹣2a|x|+c(x≥0)時有一個公共點時,求t的值;③當(dāng)線段PQ過點(﹣3,0),即點P與點(﹣3,0)重合時,線段PQ與當(dāng)函數(shù)y=a|x|2﹣2a|x|+c(x<0)時也有一個公共點,則當(dāng)t≤﹣3時,都滿足條件;綜合以上結(jié)論,得出t的取值.本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,先利用待定系數(shù)法求解析式,同時把最大值與三角形的三邊關(guān)系聯(lián)系在一起;同時對于二次函數(shù)利用動點求取值問題,從特殊點入手,把函數(shù)分成幾部分考慮,按自變量從大到小的順序或從小到大的順序求解.

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(2)將圖1中的三角板繞點O按每秒的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過程中,第t秒時,直線ON恰好平分銳角AOC,求t

(3)將圖1中的三角板繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至圖3,使ONAOC的內(nèi)部,請?zhí)骄浚?/span>AOMNOC之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

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①當(dāng)S恰好等于原長方形OABC面積的一半時,數(shù)軸上點A′表示的數(shù)是多少?

  ②設(shè)點A的移動距離AA′x.

  ()當(dāng)S4時,求x的值;

  )D為線段AA′的中點,點E在線段OO′上,且OEOO′,當(dāng)點D,E所表示的數(shù)互為相反數(shù)時,求x的值.

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