【題目】已知:在ABC中,∠BAC90°,ABAC

1)如圖1,將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AD,連結(jié)CDBD,∠BAC的平分線交BD于點(diǎn)E,連結(jié)CE

①求證:∠AED=∠CED;

②用等式表示線段AE、CE、BD之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)果);

2)在圖2中,若將線段AC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AD,連結(jié)CD、BD,∠BAC的平分線交BD的延長線于點(diǎn)E,連結(jié)CE.請(qǐng)補(bǔ)全圖形,并用等式表示線段AE、CEBD之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

【答案】(1)①證明見解析;②BD2CE+AE,理由見解析;(2)補(bǔ)圖見解析,2CEAEBD,證明見解析.

【解析】

(1)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=AD,DAC=60°,”SAS”可證△ABEACE,可得∠3=4=15°,由三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論;②過點(diǎn)AAHBD于點(diǎn)H,由等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形性質(zhì)可得BD=2BH=2(BE+EH)=2BE+AE=2EC+AE;

(2)A為頂點(diǎn),AE為一邊作∠EAF=60°,AFDB延長線于點(diǎn)F,通過證明△CAE≌△DAF和△BAE≌△CAE,可得CE=DF,BE=CE,即可得2CE-AE=BD.

證明:(1

①∵將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AD,

ACAD,∠DAC60°

∴∠BAD=∠BAC+CAD150°,且ABACAD

∴∠3=∠515°

∵∠BAC90°ABAC,AE平分∠BAC

∴∠1=∠245°,∠ABC=∠ACB45°

又∵AEAE,

∴△ABE≌△ACESAS

∴∠3=∠415°

∴∠6=∠730°

∴∠DEC=∠6+760°

∵∠AED=∠3+160°

∴∠AED=∠CED

BD2CE+AE

理由如下:

過點(diǎn)AAHBD于點(diǎn)H

∵∠EBC=∠ECB

BECE,

∵∠AED60°,AHBD

AE2EH

ABAD,AHBD

BD2BH2BE+EH)=2BE+AE2EC+AE

2)補(bǔ)全圖形如圖,

2CEAEBD

理由如下:

如圖2,以A為頂點(diǎn),AE為一邊作∠EAF60°,AFDB延長線于點(diǎn)F

∵∠BAC90°ABAC,AE平分∠BAC

∴∠BAE=∠CAE45°,∠ABC=∠ACB45°

∵將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AD,

ACAD,∠DAC60°

∴∠DAE=∠DAC﹣∠CAE15°ABAD

∴∠ABD=∠ADB,∠BAD30°

∴∠ABD=∠ADB75°

∴∠AED=∠ADB﹣∠DAE60°

∵∠EAF60°

又∵∠EAF60°

∴∠F60°

∴△AEF是等邊三角形.

AEAFEF

ACAD,∠CAE=∠DAF45°,AEAF,

∴△CAE≌△DAFSAS).

CEDF

ABAC,∠BAE=∠CAE45°,AEAE

∴△BAE≌△CAESAS).

BECE

BECE

DF+BEEFBD,

2CEAEBD

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