Question

如圖，E是矩形ABCD的邊BC上的一點，EF⊥AE，EF分別交AC，CD于點M，F(xiàn)，BG⊥AC，垂足為G，BG交AE于點H．
（1）求證：△ABE∽△ECF；
（2）找出與△ABH相似的三角形，并證明．

Answer 1

考點：矩形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）由四邊形ABCD為矩形，得到兩個角為直角，再由AE垂直于EF，得到一對角互余，利用同角的余角相等得到∠BAE=∠CEF，利用兩對對應(yīng)角相等的三角形相似即可得證；
（2）△ABH∽△ECM，理由為：由BG垂直于AC，且AB垂直于BC，利用同角的余角相等得到∠ABH=∠ECM，再由∠BAE=∠CEF，利用兩對對應(yīng)角相等的三角形相似即可得證．

解答：（1）證明：∵矩形ABCD，
∴∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠AEB+∠BAE=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；
（2）△ABH∽△ECM，理由為：
證明：∵EF⊥AE，
∴∠ABC=∠BGA=∠AEF=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF．
∵BG⊥AC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，∠BAG+∠ECM=90°，
∴∠ABG=∠ECM．
∴△ABH∽△ECM．

點評：此題考查了矩形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．