Question

如圖，點O在邊長為8的正方形ABCD的AD邊上運動（4＜C）A＜8），以O為圓心，OA長為半徑作圓，交CD于點E，連接OE、AE，過點E作直線EF交BC于點F，且∠CEF=2∠DAE．
（1）求證：直線EF為⊙O的切線；
（2）在點O的運動過程中，設DE=x，解決下列問題：
①求OD．CF的最大值，并求此時半徑的長；
②試猜想并證明△CEF的周長為定值．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）由OA=OB得∠OAE=∠OEA，則根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠DOE=2∠DAE，由于∠CEF=2∠DAE，則∠CEF=∠DOE，加上∠DOE+∠DEO=90°，則∠CEF+∠DEO=90°，所以∠OEF=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到直線EF為⊙O的切線；
（2）由于∠CEF=∠DOE，根據(jù)三角形相似的判定得到Rt△DOE∽Rt△CEF，利用相似比得OD•CF=DE•EC=x（8-x），配方得OD•CF=-（x-4）²+16，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得當x=4時，OD•CF的值最大，最大值為16；設此時半徑為R，則OA=OE=R，OD=8-R，在Rt△ODE中，根據(jù)勾股定理可計算出此時半徑為5；
（3）在Rt△ODE中，利用勾股定理得到（8-OE）²+x²=OE²，則OE=4+

x2

16

，OD=8-OE=4-

x2

16

，再利用Rt△DOE∽Rt△CEF得到相似比

OD

EC

=

DE

CF

=

OE

EF

，即

4- x2 16

8-x

=

x

CF

=

4+ x2 16

EF

，可計算得CF=

16x

8+x

，EF=

64+x2

8+x

，然后根據(jù)三角形周長的定義得到△CEF的周長得到CE+CF+EF=8-x+

16x

8+x

+

64+x2

8+x

，再進行分式的化簡運算即可得到△CEF的周長為16．

解答：（1）證明：∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∴∠DOE=2∠DAE，
∵∠CEF=2∠DAE，
∴∠CEF=∠DOE，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠D=90°，
∴∠DOE+∠DEO=90°，
∴∠CEF+∠DEO=90°，
∴∠OEF=90°，
∴OE⊥EF，
∴直線EF為⊙O的切線；
（2）解：∵∠CEF=∠DOE，
∴Rt△DOE∽Rt△CEF，
∴

OD

EC

=

DE

CF

，
∴OD•CF=DE•EC，
∵DE=x，
∴EC=8-x，
∴OD•CF=x（8-x）
=-x²+8x
=-（x-4）²+16，
當x=4時，OD•CF的值最大，最大值為16，
設此時半徑為R，則OA=OE=R，OD=8-R，
在Rt△ODE中，
∵OD²+DE²=OE²，
∴（8-R）²+4²=R²，解得R=5，
即此時半徑為5；
（3）猜想△CEF的周長為16．
在Rt△ODE中，OD²+DE²=OE²，即（8-OE）²+x²=OE²，
∴OE=4+

x2

16

，
∴OD=8-OE=4-

x2

16

，
∵Rt△DOE∽Rt△CEF，
∴

OD

EC

=

DE

CF

=

OE

EF

，即

4- x2 16

8-x

=

x

CF

=

4+ x2 16

EF

∴CF=

16x

8+x

，EF=

64+x2

8+x

，
∴△CEF的周長=CE+CF+EF=8-x+

16x

8+x

+

64+x2

8+x

=16．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的判定定理、二次函數(shù)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)；會運用勾股定理和三角形相似的判定與性質(zhì)進行幾何計算．