Question

【題目】已知拋物線y=﹣x2+mx+m﹣2的頂點(diǎn)為A，且經(jīng)過點(diǎn)（3，﹣3）.

（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)A的坐標(biāo);

（2）將原拋物線沿射線OA方向進(jìn)行平移得到新的拋物線，新拋物線與射線OA交于C，D兩點(diǎn)，如圖，請問：在拋物線平移的過程中，線段CD的長度是否為定值？若是，請求出這個定值;若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，1）；（2）CD長為定值.

【解析】

（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)平移規(guī)律，可設(shè)出新拋物線解析式，聯(lián)立拋物線與直線OA，可得C、D點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得答案．

解：（1）把（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m-2得：﹣3=﹣32+3m+m-2，

解得m=2，

∴y=﹣x2+2x，

∴y=﹣x2+2x=﹣（x-1）2+1，

∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，1）；

（2）易得直線OA的解析式為y=x，

平移后拋物線頂點(diǎn)在直線OA上，設(shè)平移后頂點(diǎn)為（a，a），

∴可設(shè)新的拋物線解析式為y=﹣（x﹣a）2+a，

聯(lián)立

解得：x1=a，x2=a﹣1，

∴C（a-1，a-1），D(a，a)，

即C、D兩點(diǎn)間的橫坐標(biāo)的差為1，縱坐標(biāo)的差也為1，

∴CD=

∴CD長為定值．