【題目】某同學(xué)在研究二次函數(shù)及其圖像性質(zhì)的問題時(shí),發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重要結(jié)論:
①拋物線 y = ax 2 2x + 3(a ≠0) ,不論 a 為何值時(shí),它的頂點(diǎn)都在某條直線上;
②拋物線 y = ax 2 2x + 3(a ≠0),其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)減少,縱坐標(biāo)增加得到A點(diǎn),若把頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加,縱坐標(biāo)增加,得到B點(diǎn),則A,B兩點(diǎn)一定在拋物線y = ax 2 2x + 3上.
(1)請(qǐng)你幫忙求出拋物線 y = ax 2 2x + 3的頂點(diǎn)所在直線的解析式,并證明結(jié)論②是正確的;
(2)問題(1)中的直線上有一個(gè)點(diǎn)不是該拋物線的頂點(diǎn),你能找出它來嗎,并說明理由;
(3)你能把結(jié)論①或②(選擇其中之一)推廣到一般情況嗎,請(qǐng)用數(shù)學(xué)語言表述你的成 果,并給予嚴(yán)格的證明.
【答案】(1),證明見解析;(2)(0,3),理由見解析;(3)①的推廣:若b、c是常數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù),拋物線的頂點(diǎn)在直線上;②的推廣:拋物線,將其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加或減少,縱坐標(biāo)增加,所得到的兩個(gè)點(diǎn)一定仍在拋物線上;證明見解析.
【解析】
(1)首先將拋物線y=ax2+2x+3轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式,寫出用a表示的頂點(diǎn)坐標(biāo),消去a寫出y關(guān)于x的表達(dá)式;
(2)觀察(1)中的頂點(diǎn)坐標(biāo),因?yàn)?/span>,即橫坐標(biāo),縱坐標(biāo),即可求得結(jié)果;
(3)首先寫出拋物線的一般形式,再轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式,將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加
代入一般式,驗(yàn)證縱坐標(biāo)也增加.
解:(1)方法一:
當(dāng)時(shí),的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),
當(dāng)時(shí),的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),
設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在直線上,
將(1,2),(1,4)代入,得:
,解得:,
所以,
即拋物線的頂點(diǎn)在直線;
方法二:
易知的頂點(diǎn)是,
即,,
消去a得:,
即拋物線的頂點(diǎn)在直線;
證明:拋物線的頂點(diǎn)是,
由題意得:A(0,3),B(,3),
當(dāng)x=0時(shí),y=3,則點(diǎn)A在拋物線上,
當(dāng)x=時(shí),,則點(diǎn)B拋物線上,
(2)直線上有一點(diǎn)(0,3)不是該拋物線的頂點(diǎn),
拋物線的頂點(diǎn)是,
當(dāng)時(shí),橫坐標(biāo),即(0,3)不是拋物線的頂點(diǎn);
(3)①的推廣
若b、c是常數(shù),對(duì)任意的實(shí)數(shù),拋物線的頂點(diǎn)在直線上.
當(dāng)時(shí),則的頂點(diǎn)為,
當(dāng)時(shí),則的頂點(diǎn)為,
將它們代入得:
,
解得:
則直線為,
事實(shí)上,時(shí),
,
即拋物線頂點(diǎn)在直線上;
②的推廣
猜想:拋物線y = ax 2 2x + 3(a ≠0) ,將其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)增加或減少,縱坐標(biāo)增加,所得到的兩個(gè)點(diǎn)一定仍在拋物線上.
證明:拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為,
將其橫坐標(biāo)增加或減少,縱坐標(biāo)增加,得到
,
將代入得
=
=
∴點(diǎn)A在拋物線上,同理可證點(diǎn)B也在拋物線上.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A 在點(diǎn)B的左側(cè)).
(1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);
(2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫整點(diǎn).
①直接寫出線段AB上整點(diǎn)的個(gè)數(shù);
②將拋物線沿翻折,得到新拋物線,直接寫出新拋物線在軸上方的部分與線段所圍成的區(qū)域內(nèi)(包括邊界)整點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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【題目】如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,P為DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AP分別交BD,BC于點(diǎn)M,N.
(1)圖中相似三角形共有_____對(duì);
(2)證明:AM2=MNMP;
(3)若AD=6,DC:CP=2:1,求BN的長(zhǎng).
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【題目】已知拋物線y=﹣x2+mx+m﹣2的頂點(diǎn)為A,且經(jīng)過點(diǎn)(3,﹣3).
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)將原拋物線沿射線OA方向進(jìn)行平移得到新的拋物線,新拋物線與射線OA交于C,D兩點(diǎn),如圖,請(qǐng)問:在拋物線平移的過程中,線段CD的長(zhǎng)度是否為定值?若是,請(qǐng)求出這個(gè)定值;若不是,請(qǐng)說明理由.
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【題目】(中考·安徽)如圖,已知反比例函數(shù)y=與一次函數(shù)y=k2x+b的圖象交于A(1,8),B(-4,m).
(1)求k1,k2,b的值;
(2)求△AOB的面積;
(3)若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函數(shù)y=的圖象上的兩點(diǎn),且x1<x2,y1<y2,指出點(diǎn)M,N位于哪個(gè)象限,并簡(jiǎn)要說明理由.
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【題目】本學(xué)期開學(xué)初,學(xué)校體育組對(duì)九年級(jí)某班50名學(xué)生進(jìn)行了跳繩項(xiàng)目的測(cè)試,根據(jù)測(cè)試成績(jī)制作了下面兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖.
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖解答下列問題:
(1)本次測(cè)試的學(xué)生中,得4分的學(xué)生有多少人?
(2)本次測(cè)試的平均分是多少分?
(3)通過一段時(shí)間的訓(xùn)練,體育組對(duì)該班學(xué)生的跳繩項(xiàng)目進(jìn)行了第二次測(cè)試,測(cè)得成績(jī)的最低分為3分.且得4分和5分的人數(shù)共有45人,平均分比第一次提高了0.8分,問第二次測(cè)試中得4分、5分的學(xué)生各有多少人?
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【題目】如圖,已知點(diǎn)C是∠AOB的平分線上一點(diǎn),點(diǎn)P、P′分別在邊OA、OB上.如果要得到 OP=OP′,需要添加以下條件中的某一個(gè)即可,請(qǐng)你寫出所有可能的結(jié)果的序號(hào)為( )
①∠OCP=∠OCP′;②∠OPC=∠OP′C;③PC=P′C;④PP′⊥OC.
A.①②B.④③C.①④③D.①②④
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