Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（﹣4，0），B（1，0），與y軸交于點D（0，4），點C（﹣2，n）也在此拋物線上．

（1）求此拋物線的解析式及點C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)BC交y軸于點E，連接AE，AC請判斷△ACE的形狀，并說明理由；

（3）連接AD交BC于點F，試問：以A，B，F(xiàn)為頂點的三角形與△ABC相似嗎？請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、y=﹣x2﹣3x+4；C(-2，6)；(2)、等腰直角三角形；理由見解析；(3)、相似；理由見解析.

【解析】

試題分析：(1)、由A、B、D三點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式，把C點坐標(biāo)代入解析式可求得n的值，可求得C點坐標(biāo)；(2)、把C點坐標(biāo)代入拋物線解析式可求得n，可得C點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式，則可求得E點坐標(biāo)，利用勾股定理可求得AC、AE、CE的長，則可判斷△ACE的形狀；(3)、由A、D坐標(biāo)可先求得直線AD解析式，聯(lián)立直線BC、AD解析式可求得F點坐標(biāo)，又可求得BF、BC和AB的長，由題意可知∠ABF=∠CAB，若以A，B，F(xiàn)為頂點的三角形與△ABC相似只有∠BFA=∠CAB，則判定和是否相等即可．

試題解析：(1)、∵拋物線經(jīng)過A、B、D三點，

∴代入拋物線解析式可得，解得， ∴拋物線y=﹣x2﹣3x+4，

∵點C（﹣2，n）也在此拋物線上， ∴n=﹣4+6+4=6， ∴C點坐標(biāo)為（﹣2，6）；

(2)、△ACE為等腰直角三角形，理由如下： 設(shè)直線BC解析式為y=kx+s，

把B、C兩點坐標(biāo)代入可得，解得， ∴直線BC解析式為y=﹣2x+2，

令x=0可得y=2， ∴E點坐標(biāo)為（0，2）， ∵A（﹣4，0），C（﹣2，6），

∴AC===2，AE===2，CE===2，

∴AE2+CE2=20+20=40=AC2，且AE=CE， ∴△ACE為等腰直角三角形；

(3)、相似，理由如下： 設(shè)直線AD解析式為y=px+q，

把A、D坐標(biāo)代入可得，解得， ∴直線AD解析式為y=x+4，

聯(lián)立直線AD、BC解析式可得，解得， ∴F點坐標(biāo)為（﹣，），

∴BF==，BC==3，且AB=1﹣（﹣4）=5，

∴==， ==， ∴=，且∠BFA=∠CAB， ∴△ABF∽△CBA．