Question

【題目】如圖，點E是正方形ABCD內一點，點E到點A，B和D的距離分別為1，2，，將△ADE繞點A旋轉至△ABG，連接AE，并延長AE與BC相交于點F，連接GF，則△BGF的面積為_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

作BM⊥AF垂足為F，根據勾股定理逆定理得到△EGB是直角三角形，即可得到△BEM是等腰直角三角形，利用△ABM∽△AFB得到FM的長，進而得到AF=AE+ME+MF=，最后根據S△BGF=S△AEG+S△BEG+S△BEF-S△AFG進行計算即可．

如圖，作BM⊥AF于點M，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∵△ADE繞點A順時針旋轉后得到△ABG，

∴△AED≌△AGB，∠EAG=90°，

∴AE=AG=1，BG=DE=，

∴GE=，

又∵BE=2，

∴EG2+EB2=10=BG2，

∴△BEG是直角三角形，∠BEG=90°，

∵∠AEG=∠AGE=45°，∠BEM+∠AEG=90°，

∴∠BEM=45°，

∵BE=2，

∴ME=MB=2，AM=AE+ME=1+2=3，

又可證△AMB∽△BMF，

∴，

∴FM=，

∴AF=AE+ME+MF=，

由圖可得，S△BGF=S△AEG+S△BEG+S△BEF-S△AFG

=×1×1+××2+×（2+）×2-×1×

=．

故答案為：．