Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于點A（﹣2，0）與點C（8，0）兩點，與y軸交于點B，其對稱軸與x軸交于點D．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）若點P（m，n）是該二次函數圖象上的一個動點（其中m＞0，n＜0），連結PB， PD，BD，AB．請問是否存在點P，使得△BDP的面積恰好等于△ADB的面積？若存在請求出此時點P的坐標，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣4；（2）存在，P點坐標為（，﹣）．

【解析】

（1）利用待定系數法求拋物線的解析式；
（2）先確定拋物線的對稱軸得到D（3，0），再確定B（0，-4），連接OP，如圖，設P（m，m2-m-4）（0＜m＜8），利用S△PBD=S△POD+S△POB-S△BOD=×3×（-m2+m+4）+×4×m-×3×4=×5×4得到關于m的方程，然后解方程求出m即可得到P點坐標．

解：（1）把A（﹣2，0）和C（8，0）代入y=ax2+bx﹣4得，解得，∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣4；

（2）存在．

∵y=x2﹣x﹣4=（x﹣3）2﹣，

∴拋物線的對稱軸為直線x=3，

∴D（3，0），

當x=0時，y=x2﹣x﹣4=﹣4，則B（0，﹣4），

連接OP，如圖，設P（m，m2﹣m﹣4）（0＜m＜8），

∵S△PBD=S△POD+S△POB﹣S△BOD，S△ABD=×5×4=10，

而△BDP的面積恰好等于△ADB的面積，

∴×3×（﹣m2+m+4）+×4×m﹣×3×4=10，

整理得3m2﹣34m+80=0，解得m1=，m2=8（舍去），

∴P點坐標為（，﹣）．