【題目】如圖1,給定銳角三角形ABC,小明希望畫正方形DEFG,使D,E位于邊BC上,F,G分別位于邊AC,AB上,他發(fā)現(xiàn)直接畫圖比較困難,于是他先畫了一個正方形HIJK,使得點H,I位于射線BC上,K位于射線BA上,而不需要求J必須位于AC上.這時他發(fā)現(xiàn)可以將正方形HIJK通過放大或縮小得到滿足要求的正方形DEFG.

閱讀以上材料,回答小明接下來研究的以下問題:

(1)如圖2,給定銳角三角形ABC,畫出所有長寬比為21的長方形DEFG,使D,E位于邊BC上,F,G分別位于邊AC,AB上.

(2)已知三角形ABC的面積為36,BC12,在第(1)問的條件下,求長方形DEFG的面積.

【答案】(1)見解析;(2) 18或.

【解析】

1)如圖2,先畫長方形HIJK,使得HI=2HK,并且HI位于射線BC上,K位于射線BA上,連結(jié)BJ并延長交AC于點F,再將長方形HIJK通過放大可得到滿足要求的長方形DEFG;如備用圖,先畫長方形HIJK,使得HK=2HI,并且H,I位于射線BC上,K位于射線BA上,連結(jié)BJ并延長交AC于點F,再將長方形HIJK通過放大可得到滿足要求的長方形DEFG;
2)作ABC的高AM,交GFN.由三角形ABC的面積為36,求出AM=6.再設(shè)AN=x,由GFBC,得出AGF∽△ABC,根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比列出比例式,由此求出x的值,進(jìn)而求解即可.

解 (1)如圖2與備用圖1,長方形DEFG即為所求作的圖形;

(2)在長方形DEFG中,如果DE2DG,如備用圖2,作ABC的高AM,交GFN.

∵三角形ABC的面積=BC·AM×12AM36,

AM6.

設(shè)ANx,則MN6x,DGMN6x,DEGF2(6x)122x.

GFBC

∴△AGF∽△ABC,

,

解得x3,

DG6x3,DE2DG6

∴長方形DEFG的面積=6×318;

在長方形DEFG中,如果DG2DE,同理求出x,

DG6x,DEDG,

∴長方形DEFG的面積=×.

故長方形DEFG的面積為18.

故答案為:(1)見解析;(2) 18.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x+5y軸交于點A,與x軸交于點B.拋物線y=﹣x2+bx+cA、B兩點.

1)寫出點AB的坐標(biāo);

2)求拋物線的解析式;

3)過點AAC平行于x軸,交拋物線于點C,點P為拋物線上的一動點(點PAC上方),作PD平行于y軸交AB于點D,問當(dāng)點P在何位置時,四邊形APCD的面積最大?并求出最大面積.

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【題目】自主學(xué)習(xí),請閱讀下列解題過程.

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解:設(shè)x2﹣3x=0,解得:x1=0,x2=5.則拋物線y=x2﹣3x與x軸的交點坐標(biāo)為(0,0)和(3,0).畫出二次函數(shù)y=x2﹣3x的大致圖象(如圖所示),由圖象可知:當(dāng)x<0或x>3時函數(shù)圖象位于x軸上方,此時y>0,即x2﹣3x>0,所以,一元二次不等式x2﹣3x>0的解集為:x<0或x>3.

通過對上述解題過程的學(xué)習(xí),按其解題的思路和方法解答下列問題:

(1)上述解答過程中,滲透了下列數(shù)學(xué)思想中的      .(只填序號)

①轉(zhuǎn)化思想 ②分類討論思想 ③數(shù)形結(jié)合思想 ④整體思想

(2)一元二次不等式x2﹣3x<0的解集為   

(3)用類似的方法解一元二次不等式:x2﹣3x﹣4<0的解集.

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【題目】如圖,ABC中,DAC的中點,EBC延長線上一點,過AAHBE,連接ED并延長交ABF,交AHH.

(1)求證:AHCE;

(2)如果AB4AF,EH8,求DF的長.

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【題目】兩千多年前,我國的學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了小孔成像的實驗.他的做法是,在一間黑暗的屋子里,一面墻上開一個小孔,小孔對面的墻上就會出現(xiàn)外面景物的倒像.小華在學(xué)習(xí)了小孔成像的原理后,利用如圖裝置來驗證小孔成像的現(xiàn)象.已知一根點燃的蠟燭距小孔20 cm,光屏在距小孔30 cm處,小華測量了蠟燭的火焰高度為2 cm,則光屏上火焰所成像的高度為__________ cm.

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【題目】如圖,以O為位似中心,將五邊形ABCDE放大得到五邊形A′B′C′D′E′,已知OA10 cm,OA′30 cm,若S五邊形A′B′C′D′E′27 cm2,則S五邊形ABCDE__________.

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【題目】如圖,在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中,按要求畫出A1B1C1A2B2C2;

(1)O為位似中心,在點O的同側(cè)作A1B1C1,使得它與原三角形的位似比為12;

(2)ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到A2B2C2,并求出點A旋轉(zhuǎn)的路徑的長.

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【題目】隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展,人們?nèi)ド虉鲑徫锏闹Ц斗绞礁佣鄻、便捷.某校?shù)學(xué)興趣小組設(shè)計了一份調(diào)查問卷,要求每人選且只選一種你最喜歡的支付方式.現(xiàn)將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計并繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題:

(1)這次活動共調(diào)查了   人;在扇形統(tǒng)計圖中,表示支付寶支付的扇形圓心角的度數(shù)為   ;

(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整.觀察此圖,支付方式的眾數(shù)   ”;

(3)在一次購物中,小明和小亮都想從微信”、“支付寶”、“銀行卡三種支付方式中選一種方式進(jìn)行支付,請用畫樹狀圖或列表格的方法,求出兩人恰好選擇同一種支付方式的概率.

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(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖2,點P是直線EO上方拋物線上的一個動點,過點Py軸的平行線交直線EO于點G,作PHEO,垂足為H.設(shè)PH的長為l,點P的橫坐標(biāo)為m,求lm的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出m的取值范圍),并求出l的最大值;

(3)如果點N是拋物線對稱軸上的一點,拋物線上是否存在點M,使得以M,A,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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