Question

【題目】如圖，拋物線y＝x2﹣2mx+3m與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D為該拋物線上的一點(diǎn)、且在第二象限內(nèi)，連接AC，若∠DAB＝∠ACO，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)E為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，試求2AE+EC的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣，）；（3）4．

【解析】

（1）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線求出m，即可求出解析式；

（2）過(guò)D點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)H，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n，n 2+2 n﹣3），易知∠DAB =∠ACO ，利用tan∠DAB＝tan∠ACO即可求得n的值，即可求出D點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）根據(jù)B，C坐標(biāo)求出直線BC的解析式為y=-x-3，故∠BCO=45°，則EF＝EC，AE+EC＝AE+EF，故當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，AE+EC最小，即2AE+EC最小，

根據(jù)BC⊥AF可設(shè)直線AF的表達(dá)式為：y＝x+b，代入A點(diǎn)即可求出直線AF，令x=0，可求出E點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出此時(shí)2AE+EC的值.

解：（1）把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：9+6m+3m＝0，

解得：m＝﹣1，

故該拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3；

（2）過(guò)D點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，交BC于點(diǎn)F，

令y=0，求得A（1,0），B（-3,0）.

設(shè)：點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n，n 2+2n﹣3），

∵∠DAB＝∠ACO，

∴tan∠DAB＝tan∠ACO，

即：=，=，

解得：＝或1（舍去m＝1），

故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）；

（3）根據(jù)B，C坐標(biāo)求出直線BC的解析式為y=-x-3，

過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，交BC于點(diǎn)F，

則EF＝EC，AE+EC＝AE+EF，

∴當(dāng)A、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，AE+EC最小，即2AE+EC最小，

設(shè)：直線AF的表達(dá)式為：y＝x+b，

將點(diǎn)A坐標(biāo)（1，0）代入上式，1+b＝0，則b＝﹣1，

則直線AE的表達(dá)式為：y＝x﹣1，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，﹣1），

則EC＝3﹣1＝2，AE＝

2AE+EC＝2+2＝4．