Question

如圖，二次函數(shù)y=-x²+ax+b的圖象與x軸交于A(-

1

2

，0)、B（2，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求該拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀；
（2）直接寫出不等式-x²+ax+b＞0的解集；
（3）在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+ax+b的圖象經(jīng)過A(-

1

2

，0)、B（2，0）兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法就可以直接求出a、b的值，求出拋物線的解析式．
（2）不等式-x²+ax+b＞0的解集，實(shí)際上就是y=-x²+ax+b＞0時x的取值范圍，利用拋物線與x軸的交點(diǎn)和圖象特征就可以求出．
（3）在（1）題已將證得∠ACB=90°，若A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形，則有兩種情況需要考慮：
①以BC、AP為底，AC為高；可先求出直線BC的解析式，進(jìn)而可確定直線AP的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
②以AC、BP為底，BC為高；方法同①．

解答：解：（1））∵二次函數(shù)y=-x²+ax+b的圖象經(jīng)過A(-

1

2

，0)、B（2，0）兩點(diǎn)，由題意，得

0=- 1 4 - 1 2 a+b 0=-4+2a+b

，解得：

a= 3 2 b=1

，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+

3

2

x+1．
∴C（0，1），
∴AC²=AO²+CO²=

5

4

，
CB²=BO²+CO²=5，
AB²=

25

4

，
∴AC²+CB²=AB²，
∴△ACB是直角三角形；

（2）由圖象得原不等式的解集為：
-

1

2

＜x＜2

（3）存在，點(diǎn)P（

5

2

，-

3

2

）或（-

5

2

，-9）；
若以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角梯形以BC、AP為底；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直線BC的解析式為：y=-

1

2

x+1；
設(shè)過點(diǎn)B且平行于AC的直線的解析式為y=-

1

2

x+h，
將點(diǎn)A（-

1

2

，0）代入得：（-

1

2

）×（-

1

2

）+h=0，h=-

1

4

；
∴y=-

1

2

x-

1

4

；
聯(lián)立拋物線的解析式有：

y=- 1 2 x- 1 4 y=-x2+ 3 2 x+1

，
解得

x=- 1 2 y=0

，

x= 5 2 y=- 3 2

；
∴點(diǎn)P（

5

2

，-

3

2

）；
若以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的直角梯形以AC、BP為底，
同理可求得P（-

5

2

，-9）；
故當(dāng)P（

5

2

，-

3

2

）或（-

5

2

，-9）時，以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形．
（根據(jù)拋物線的對稱性求出另一個P點(diǎn)坐標(biāo)亦可）

點(diǎn)評：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，直角梯形的運(yùn)用．