【題目】已知:如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn),MD∥BC,且MD=CM,DE⊥AB于點(diǎn)E,連結(jié)AD、CD.
(1)求證:△MED∽△BCA;
(2)求證:△AMD≌△CMD;
(3)設(shè)△MDE的面積為S1,四邊形BCMD的面積為S2,當(dāng)S2=S1時(shí),求cos∠ABC的值.
【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)cos∠ABC=.
【解析】
(1)易證∠DME=∠CBA,∠ACB=∠MED=90°,從而可證明△MED∽△BCA;
(2)由∠ACB=90°,點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn),可知MB=MC=AM,從而可證明∠AMD=∠CMD,從而可利用全等三角形的判定證明△AMD≌△CMD;
(3)易證MD=2AB,由(1)可知:△MED∽△BCA,所以,所以S△MCB=S△ACB=2S1,從而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=S1,由于,從而可知,設(shè)ME=5x,EB=2x,從而可求出AB=14x,BC=,最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案.
(1)∵MD∥BC,
∴∠DME=∠CBA,
∵∠ACB=∠MED=90°,
∴△MED∽△BCA;
(2)∵∠ACB=90°,點(diǎn)M是斜邊AB的中點(diǎn),
∴MB=MC=AM,
∴∠MCB=∠MBC,
∵∠DMB=∠MBC,
∴∠MCB=∠DMB=∠MBC,
∵∠AMD=180°﹣∠DMB,
∠CMD=180°﹣∠MCB﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC,
∴∠AMD=∠CMD,
在△AMD與△CMD中,
,
∴△AMD≌△CMD(SAS);
(3)∵MD=CM,
∴AM=MC=MD=MB,
∴MD=2AB,
由(1)可知:△MED∽△BCA,
∴,
∴S△ACB=4S1,
∵CM是△ACB的中線,
∴S△MCB=S△ACB=2S1,
∴S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1=S1,
∵,
∴,
∴,
設(shè)ME=5x,EB=2x,
∴MB=7x,
∴AB=2MB=14x,
∵,
∴BC=10x,
∴cos∠ABC=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD=CD,以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C,連接AC,OD交于點(diǎn)E.
(1)證明:OD∥BC;
(2)若tan∠ABC=2,證明:DA與⊙O相切;
(3)在(2)條件下,連接BD交于⊙O于點(diǎn)F,連接EF,若BC=1,求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線AB、CD相交于點(diǎn)O.已知∠BOD=75°,OE把∠AOC分成兩個(gè)角,且∠AOE=∠EOC
(1)求∠AOE的度數(shù);
(2)將射線OE繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)°(0°<α<360°)到OF.
①如圖2,當(dāng)OF平分∠BOE時(shí),求∠DOF的度數(shù);
②若∠AOF=120°時(shí),直接寫出的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線y1=kx+1(k<0)與直線y2=mx(m>0)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(,m),則不等式組mx﹣2<kx+1<mx的解集為( 。
A. x> B. <x< C. x< D. 0<x<
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y1=2x﹣2與雙曲線y2=交于A、C兩點(diǎn),AB⊥OA交x軸于點(diǎn)B,且OA=AB.
(1)求雙曲線的解析式;
(2)求點(diǎn)C的坐標(biāo),并直接寫出y1<y2時(shí)x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用一條直線 m 將如圖 1 的直角鐵皮分成面積相等的兩部分.圖 2、圖 3 分別是甲、乙兩同學(xué)給出的作法,對(duì)于兩人的作法判斷正確的是( )
A. 甲正確,乙不正確B. 甲不正確,乙正確
C. 甲、乙都正確D. 甲、乙都不正確
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,,分別在,上.
(1)若,.
①如圖1,求證:;
②如圖2,點(diǎn)為延長線上一點(diǎn),的延長線交于,若,求證:;
(2)如圖3,若為的中點(diǎn),.則的值為 (結(jié)果用含的式子表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】把下列各數(shù)填在相應(yīng)大括號(hào)里:,、-(-10) 、 -(-2)2,0.1010010001…
(1)正數(shù)集合{ …}
(2)整數(shù)集合{ …}
(3)正分?jǐn)?shù)集合{ …}
(4)非負(fù)整數(shù)集合{ …}
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小梅在餐廳吃飯時(shí),發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的問題:廚師喜歡將做好的油餅都切成一個(gè)個(gè)小扇形.小梅在想:如果第一次切去圓餅的一半,第二次切去剩余的一半,第三次繼續(xù)切去剩余的一半,……如圖所示.
(1)如果繼續(xù)這樣切下去,能把這張油餅切完嗎?為什么?
(2)如果依照上面的規(guī)律切了10次,那么剩下的油餅是整張油餅的幾分之幾?
(3)如果廚師照上述方式切了次,那么他一共將這張油餅切去了多少?
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