Question

【題目】小亮在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問題：

如圖，點(diǎn)是弧上一動(dòng)點(diǎn)，線段點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求線段的長(zhǎng)度．

小亮分析發(fā)現(xiàn)，此問題很難通過常規(guī)的推理計(jì)算徹底解決，于是嘗試結(jié)合學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)研究此問題，請(qǐng)將下面的探究過程補(bǔ)充完整：

根據(jù)點(diǎn)在弧上的不同位置，畫出相應(yīng)的圖形，測(cè)量線段的長(zhǎng)度，得到下表的幾組對(duì)應(yīng)值．

操作中發(fā)現(xiàn)：

①"當(dāng)點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí)， "．則上中的值是

②"線段的長(zhǎng)度無需測(cè)量即可得到"．請(qǐng)簡(jiǎn)要說明理由；

將線段的長(zhǎng)度作為自變量和的長(zhǎng)度都是的函數(shù)，分別記為和，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)的圖象，如圖所示．請(qǐng)?jiān)谕�一坐�?biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；

繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)為等腰三角形時(shí)，線段長(zhǎng)度的近似值．(結(jié)果保留一位小數(shù))．

Answer 1

【答案】（1）①5.0；②見解析；（2）圖象見解析；（3）圖象見解析；3.5cm或5.0cm或6.3cm；

【解析】

（1）①點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí)，△ABD≌△ACD，即可得到CD=BD；②由題意得△ACF≌△ABD，即可得到CF=BD；

（2）根據(jù)表格數(shù)據(jù)運(yùn)用描點(diǎn)法即可畫出函數(shù)圖象；

（3）畫出的圖象，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分情況討論，任意兩邊分別相等時(shí)，即任意兩個(gè)函數(shù)圖象相交時(shí)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為BD的近似值．

解：（1）①點(diǎn)為弧的中點(diǎn)時(shí)，由圓的性質(zhì)可得：

，

∴△ABD≌△ACD，

∴CD=BD=5.0，

∴；

②∵，

∴，

∵，

∴△ACF≌△ABD，

∴CF=BD，

∴線段的長(zhǎng)度無需測(cè)量即可得到；

（2）函數(shù)的圖象如圖所示：

（3）由（1）知，

畫出的圖象，如上圖所示，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，

①，BD為與函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即BD=5.0cm；

②，BD為與函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即BD=6.3cm；

③，BD為與函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，即BD=3.5cm；

綜上：當(dāng)為等腰三角形時(shí)，線段長(zhǎng)度的近似值為3.5cm或5.0cm或6.3cm．