Question

【題目】如圖，已知平行四邊形OABC的三個頂點A、B、C在以O為圓心的半圓上，過點C作CD⊥AB，分別交AB、AO的延長線于點D、E，AE交半圓O于點F，連接CF.

（1）判斷直線DE與半圓O的位置關系，并說明理由；

（2）若半圓O的半徑為12，求涂色部分的周長.

Answer 1

【答案】（1）相切，理由見解析；（2）.

【解析】

（1）結論：DE是⊙O的切線．首先證明△ABO，△BCO都是等邊三角形，再證明四邊形BDCG是矩形，即可解決問題；

（2）求出EC、EF、弧長CF即可解決問題．

(1)結論：DE是⊙O的切線，

理由：∵四邊形OABC是平行四邊形，

又∵OA=OC，

∴四邊形OABC是菱形，

∴OA=OB=AB=OC=BC，

∴△ABO，△BCO都是等邊三角形，

∴∠AOB=∠BOC=∠COF=60°，

∵OB=OF，

∴OG⊥BF,

∵AF是直徑，CD⊥AD，

∴∠ABF=∠DBG=∠D=∠BGC=90°，

∴四邊形BDCG是矩形，

∴∠OCD=90°，

∴DE是⊙O的切線.

(2)在Rt△OCE中,∵OC=12,∠COE=60°,∠OCE=90°，

∴OE=2OC=24,EC=12，

∵OF=12，

∴EF=12，

∴弧CF的長==4π，

∴陰影部分的周長為4π+12+12.