Question

14．已知二次函數(shù)y=kx²-4kx+3k（k≠0）
（1）當k=1時，求該拋物線與坐標軸的交點的坐標；
（2）當0≤x≤3時，求y的最大值；
（3）若直線y=2k與二次函數(shù)的圖象交于E、F兩點，問線段EF的長度是否是定值？如果是，請直接寫出其長度；如果不是，請簡要說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過解方程x²-4x+3=0可確定該拋物線與x軸的交點的坐標，求自變量為0時的函數(shù)值可確定該拋物線與y軸的交點的坐標；
（2）先確定拋物線的對稱軸為直線x=2，再分類討論：當k＞0時，拋物線開口向上，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，x=0時，y有最大值；當k＜0時，x=2時，y有最大值；
（3）解方程kx²-4kx+3k=2k得x₁=2-$\sqrt{3}$，x₂=2+$\sqrt{3}$，于是得到E、F的坐標，然后計算兩點的橫坐標差的絕對值即可得到EF的長．

解答 解：（1）當k=1時，拋物線解析式為y=x²-4x+3，
當y=0時，x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，
所以該拋物線與x軸的交點的坐標為（1，0），（3，0），
當x=0時，y=x²-4x+3=3，則該拋物線與y軸的交點的坐標為（0，3）；
（2）拋物線的對稱軸為直線x=-$\frac{-4k}{2k}$=2，
當k＞0時，x=0時，y有最大值3k，
當k＜0時，x=2時，y有最大值-k；
（3）線段EF的長度是定值，EF=2$\sqrt{3}$．
kx²-4kx+3k=2k，
整理得x²-4k+1=0，解得x₁=2-$\sqrt{3}$，x₂=2+$\sqrt{3}$，
所以E、F的坐標為（2-$\sqrt{3}$，2k），（2+$\sqrt{3}$，2k）
所以EF=2+$\sqrt{3}$-（2-$\sqrt{3}$）=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用解一元二次方程求拋物線與x軸的交點坐標和拋物線與一次函數(shù)的交點坐標．注意解決（2）小題時應用分類討論的思想．