Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，AB=，∠BCD=120°，M為對(duì)角線BD上一點(diǎn)（M不與點(diǎn)B、D重合），過(guò)點(diǎn)MN∥CD，使得MN=CD，連接CM、AM、BN.

（1）當(dāng)∠DCM=30°時(shí)，求DM的長(zhǎng)度；

（2）如圖2，延長(zhǎng)BN、DC交于點(diǎn)E，求證：AM·DE=BE·CD；

（3）如圖3，連接AN，則AM+AN的最小值是 .

Answer 1

【答案】（1）1;（2）見(jiàn)解析;（3）當(dāng)BN⊥CD時(shí)有最小值3.

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)M作MP⊥CD于點(diǎn)P，根據(jù)菱形的性質(zhì)求∠DCM=30°，進(jìn)而可知∠CDM=∠DCM，△DMC是等腰三角形，再利用等腰三線合一，求得，進(jìn)而可得DM值.

（2）先根據(jù)已知條件證得四邊形ABCD是平行四邊形，求得MN=CD，NB=AM，利用平分線所分線段對(duì)應(yīng)成比例得到，再進(jìn)行等量代換即可答案.

（3）根據(jù)題意可知當(dāng)AM⊥MN時(shí)，AM+AN的最小值，利用特殊三角函數(shù)值求得此時(shí)AM、MN的值即可.

（1）

過(guò)點(diǎn)M作MP⊥CD于點(diǎn)P

∵四邊形ABCD是菱形, AB=

∴CD=AB=BC=

∴∠CDB=

∵∠DCM=30°

∴∠CDM=∠DCM

∴△DMC是等腰三角形

∵MP⊥CD

∴

∴DM=

（2）∵四邊形ABCD 是菱形

∴CD=AB，AB∥CD

∵MN=CD，MN∥CD

∴MN=AB，MN∥AB

∴四邊形ABMN是平行四邊形

∴NB=AM

∵MN∥CD

∴

∵MN=CD，NB=AM

∴即AM·DE=BE·CD

（3）由（2）可知MN=AB=,那么根據(jù)題意當(dāng)AM⊥MN時(shí)，AM+AN最短.

∵∠CDB=（已求），DC∥AB

∴∠MBA=∠CDB=

∵AM⊥MN,MN∥AB

∴∠MAB=

∵AB=

∴AM=1

∴在Rt△AMN中，利用勾股定理得

則AM+AN=1+2=3

∴當(dāng)BN⊥CD時(shí)，AM+AN有最小值3.