Question

【題目】如圖，在ABC中，高AD、BE相交于點(diǎn)O，AE＝BE，BC＝5，且BD＝CD.

(1)①求證:△AOE≌△BCE；②求線段AO的長.

(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OA以每秒1個(gè)單位長度的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以每秒4個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△POQ的面積為S，請用含t的式子表示S，并直接寫出t相應(yīng)的的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)①見解析；②5；（2）S＝

【解析】

(1) ①根據(jù)ASA證明△AOE≌△BCE；

②由①中△AOE≌△BCE可得AO＝BC＝5；

(2)分兩種情形討論求解即可：①當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD上時(shí)，QD=2-4t，②當(dāng)點(diǎn)Q在射線DC上時(shí)，DQ=4t-2時(shí)；

（1）①∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∵BE是高，
∴∠AEB=∠BEC=90°，
∴∠EAO+∠ACD=90°，∠EBC+∠ECB=90°，
∴∠EAO=∠EBC，
在△AOE和△BCE中，
，

∴△AOE≌△BCE，
②∵△AOE≌△BCE，

∴AO=BC,

又∵BC=5，

∴AO＝5;

（2）∵BD=CD，BC=5，
∴BD=2，CD=3，
由題意OP=t，BQ=4t，
①當(dāng)點(diǎn)Q在線段BD上時(shí)，QD=2-4t，
∴S=t（2-4t）=-2t2+t（0＜t＜）．
②當(dāng)點(diǎn)Q在射線DC上時(shí)，DQ=4t-2，
∴S=t（4t-2）=2t2-t（＜t≤5），

綜合上述可得：S＝ .