【題目】如圖,△ABC中,E是AC上一點,且AE=AB,∠BAC=2∠EBC ,以AB為直徑的⊙O交AC于點D,交EB于點F.
(1)求證:BC與⊙O相切;
(2)若AB=8,BE=4,求BC的長.
【答案】(1)證明見解析;(2)BC=
【解析】
(1)運用切線的判定,只需要證明AB⊥BC即可,即證∠ABC=90°. 連接AF,依據(jù)直徑所對圓周角為90度,可以得到∠AFB=90°,依據(jù)三線合一可以得到2∠BAF=∠BAC,再結(jié)合已知條件進行等量代換可得∠BAF=∠EBC,最后運用直角三角形兩銳角互余及等量代換即可.
(2)依據(jù)三線合一可以得到BF的長度,繼而算出∠BAF=∠EBC的正弦值,過E作EG⊥BC于點G,利用三角函數(shù)可以解除EG的值,依據(jù)垂直于同一直線的兩直線平行,可得EG與AB平行,從而得到相似三角形,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可以求出AC的長度,最后運用勾股定理求出BC的長度.
(1)證明:連接AF.
∵AB為直徑, ∴∠AFB=90°.
又∵AE=AB,
∴2∠BAF=∠BAC,∠FAB+∠FBA=90°.
又∵∠BAC=2∠EBC,
∴∠BAF=∠EBC,
∴∠FAB+∠FBA=∠EBC+∠FBA=90°.
∴∠ABC=90°.即AB⊥BC,
∴BC與⊙O相切;
(2)解:過E作EG⊥BC于點G,
∵AB=AE,∠AFB=90°,
∴BF=BE=×4=2,
∴sin∠BAF=,
又∵∠BAF=∠EBC,
∴sin∠EBC=.
又∵在△EGB中,∠EGB=90°,
∴EG=BEsin∠EBC=4×=1,
∵EG⊥BC,AB⊥BC,
∴EG∥AB,
∴△CEG∽△CAB,
∴.
∴,
∴CE=,
∴AC=AE+CE=8+=.
在Rt△ABC中,
BC=
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小李經(jīng)營的車飾店銷售某品牌車漆修復(fù)液,已知其進價為40元/支,試銷階段發(fā)現(xiàn)將售價定為80元/支時,每天可銷售20支,后來為了擴大銷售量,小李適當降低了售價,銷售量y(支)與降價x(元)的關(guān)系如圖所示.
(1)請仔細讀題,并補全下面表格:
降價x/元 | … | 2 | 4 |
| x | … |
銷量y/支 | … | 24 | 28 | 30 |
| … |
(2)若要使得平均每天銷售這種修復(fù)液的利潤W最大,則每支修復(fù)液應(yīng)該降價多少元?最大的利潤W為多少元?
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【題目】已知直線與軸、軸分別交于、兩點,拋物線經(jīng)過、兩點,與軸的另一個交點為,且.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點在上,點在的延長線上,且,連接交于點,點為第一象限內(nèi)的一點,當是以為斜邊的等腰直角三角形時,連接,設(shè)的長度為,的面積為,請用含的式子表示,并寫出自變量的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,連接、,將沿翻折到的位置(與對應(yīng)),若,求點的坐標.
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【題目】如圖,在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中,取格點A、B、C并連接AB,BC.取格點D、E并連接,交AB于點F.
(Ⅰ)AB的長等于_____;
(Ⅱ)若點G在線段BC上,且滿足AF+CG=FG,請在如圖所示的網(wǎng)格中,用無刻度的直尺,確定點G的位置,并簡要說明點G的位置是如何找到的.
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【題目】已知點A(-2,m),B(2,m),C(3,m﹣n)(n>0)在同一個函數(shù)的圖象上,這個函數(shù)可能是( 。
A.y=xB.y=﹣C.y=x2D.y=﹣x2
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【題目】(1)如圖1,△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90°.請用直角三角尺(僅可畫直角或直線)在圖中畫出一個點P,使得∠APB=45°;
(2)如圖2,△ABC 中,AB=a,∠ACB=,請用直尺和圓規(guī)作出一個點Q,使點Q與點C在AB同側(cè),QA=QB,∠AQB=;(不寫作法,保留作圖痕跡)
(3)如圖3,若 AC=BC=,∠ACB=90°,以點A為原點,直線AB 為 x 軸,過點A垂直于AB的直線為 y 軸,建立平面直角坐標系,直線y= - x+b(b>0)交 x 軸于點M,交 y 軸于點N.當點P在直線MN上,且∠APB=45°,求點P的個數(shù)及對應(yīng)的b的取值范圍;
(4)如圖4,△ABC 中,AB=a,∠ACB=,請用直尺和圓規(guī)作出點P,使得∠APB=且AP+BP最大,請簡要說明理由.(不寫作法,保留作圖痕跡)
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【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,經(jīng)過(﹣1,0)、(3,0)、(0,﹣3).
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)不等式ax2+bx+c>0的解集為 ;
(3)方程ax2+bx+c=m有兩個實數(shù)根,m的取值范圍為 .
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【題目】(1)已知,求一次函數(shù)所經(jīng)過的象限;
(2)已知與相似,且的三邊長分別為6、8、4,其中一邊長為2,試求的另外兩邊長.
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【題目】如圖,點是等邊內(nèi)一點,且,點是邊的中點,連接,.
(1)如圖1,若點,,三點共線,則與的數(shù)量關(guān)系是______;
(2)如圖2,若點,,三點不共線,問(1)中的結(jié)論還成立嗎?若成立,請給出證明,若不成立,請說明理由;
(3)如圖3,若,,直接寫出的長是______.
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