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【題目】如圖,點是等邊內一點,且,點是邊的中點,連接,.

1)如圖1,若點,三點共線,則的數量關系是______;

2)如圖2,若點,,三點不共線,問(1)中的結論還成立嗎?若成立,請給出證明,若不成立,請說明理由;

3)如圖3,若,,直接寫出的長是______.

【答案】1;(2)上述結論仍然成立,證明見解析;(3

【解析】

1)由等邊三角形的性質和已知條件得出∠BAC=ABC=ACB=60°,AMBC,∠BAP=CAP=BAC=30°,得出PB=PC,由等腰三角形的性質得出∠PBC=PCB=30°,得出PC=2PM,證出∠ACP=60°-30°=30°=CAP,得出AP=PC,即可得出AP=2PM;(2)延長BPD,使PD=PC,連接AD、CD,證明△ACD≌△BCPSAS),得出AD=BP,∠ADC=BPC=120°,證明△CMN≌△BMPSAS),得出CN=BP=AD,∠NCM=PBM,證明△ADP≌△NCPSAS),即可得出AP=PN=2CM;(3)作CEBDE,設BP=4x,則PD=PC=3x,由等邊三角形的性質得出PE=PD=xCE=PE=x,得出BE=BP+PE=x,在RtBCE中,由勾股定理得出方程,求出x=2,得出AD=BP=8PD=PC=6,作PFADF,則∠DPF=30°,由直角三角形的性質得出DF=PD=3,PF=DF=3,得出AF=AD-DF=8-3=5,由勾股定理即可得出答案.

1AP=2PM,理由如下:

∵△ABC是等邊三角形,點M是邊BC的中點,

∴∠BAC=ABC=ACB=60°,AMBC,∠BAP=CAP=BAC=30°,

PB=PC,

∵∠BPC=120°,

∴∠PBC=PCB=30°,

PC=2PM,∠ACP=60°-30°=30°=CAP

AP=PC

AP=2PM;

故答案為:AP=2PM;
2AP=2PM成立,理由如下:

如圖,延長BPD,使PD=PC,連接AD、CD,

則∠CPD=180°-BPC=60°,

∴△PCD是等邊三角形,

CD=PD=PC,∠PDC=PCD=60°,

∵△ABC是等邊三角形,

BC=AC,∠ACB=60°=PCD,

∴∠BCP=ACD,

又∵AC=CB,

∴△ACD≌△BCPSAS),

AD=BP,∠ADC=BPC=120°,

∴∠ADP=120°-60°=60°,

延長PMN,使MN=MP,連接CN

∵點M是邊BC的中點,

CM=BM

又∵∠CMN=PMB,

∴△CMN≌△BMPSAS),

CN=BP=AD,∠NCM=PBM

CNBP,

∴∠NCP+BPC=180°,

∴∠NCP=60°=ADP,

在△ADP和△NCP中,

,

∴△ADP≌△NCPSAS),

AP=PN=2CM;

3)如圖,延長BPD,使PD=PC,連接AD、CD,延長PMN,使MN=MP,連接CN,作CEBDE,

同(2)得:AD=BPAP=2CM;

BP=4x,則PD=PC=3x

CEBD,△CPD是等邊三角形,

PE=PD=x,CE=PE=x

BE=BP+PE=x,

∵△ABC是等邊三角形,
BC=AB= ,

RtBCE中,由勾股定理得:

解得:x=2,

AD=BP=8PD=PC=6,

PFADF,則∠DPF=90°-60°=30°,
DF= PD=3,PF= DF=3 ,

AF=AD-DF=8-3=5,

;

故答案為:

練習冊系列答案
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月用水量(噸)

單價(元/噸)

不大于10噸部分

1.5

大于10噸不大于m噸部分(20≤m≤50)

2

大于m噸部分

3

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