Question

7．設(shè)a，b是實(shí)數(shù)，定義@的一種運(yùn)算如下：a@b=（a+b）²-（a-b）²，則下列結(jié)論：
①若a@b=0，則a=0或b=0
②a@（b+c）=a@b+a@c
③不存在實(shí)數(shù)a，b，滿足a@b=a²+5b²
④設(shè)a，b是矩形的長和寬，若矩形的周長固定，則當(dāng)a=b時(shí)，a@b最大．
其中正確的是（　　）

• A． ②③④
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③

Answer 1

分析 根據(jù)新定義可以計(jì)算出各個(gè)小題中的結(jié)論是否成立，從而可以判斷各個(gè)小題中的說法是否正確，從而可以得到哪個(gè)選項(xiàng)是正確的．

解答 解：①根據(jù)題意得：a@b=（a+b）²-（a-b）²
∴（a+b）²-（a-b）²=0，
整理得：（a+b+a-b）（a+b-a+b）=0，即4ab=0，
解得：a=0或b=0，正確；
②∵a@（b+c）=（a+b+c）²-（a-b-c）²=4ab+4ac
a@b+a@c=（a+b）²-（a-b）²+（a+c）²-（a-c）²=4ab+4ac，
∴a@（b+c）=a@b+a@c正確；
③a@b=a²+5b²，a@b=（a+b）²-（a-b）²，
令a²+5b²=（a+b）²-（a-b）²，
解得，a=0，b=0，故錯(cuò)誤；
④∵a@b=（a+b）²-（a-b）²=4ab，
（a-b）²≥0，則a²-2ab+b²≥0，即a²+b²≥2ab，
∴a²+b²+2ab≥4ab，
∴4ab的最大值是a²+b²+2ab，此時(shí)a²+b²+2ab=4ab，
解得，a=b，
∴a@b最大時(shí)，a=b，故④正確，
故選C．

點(diǎn)評 本題考查因式分解的應(yīng)用、整式的混合運(yùn)算、二次函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．