Question

3．如圖1，矩形ABCD中，AB=7cm，AD=4cm，點(diǎn)E為AD上一定點(diǎn)，點(diǎn)F為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=acm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PE，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，△PAE的面積為ycm²，當(dāng)0≤t≤1時(shí)，△PAE的面積y（cm²）關(guān)于時(shí)間t（s）的函數(shù)圖象如圖2所示，連結(jié)PF，交CD于點(diǎn)H．
（1）t的取值范圍為0≤t≤3.5，AE=1cm；
（2）如圖3，將△HDF沿線段DF進(jìn)行翻折，與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，連結(jié)AM，當(dāng)a為何值時(shí)，四邊形PAMH為菱形？并求出此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（3）如圖4，當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)1s后，AD邊上另一動(dòng)點(diǎn)Q從E點(diǎn)出發(fā)，沿ED邊向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，如果P，Q兩點(diǎn)中的任意一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PQ，QH．若a=$\frac{4}{3}$cm，請(qǐng)問△PQH能否構(gòu)成直角三角形？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)列出與時(shí)間的關(guān)系可以確定t的范圍，根據(jù)t=1時(shí)，△APE面積為1，即可求出AE．
（2）只要證明∠MAD=∠MFD=30°即可解決問題．
（3））①若∠PQH為直角三角形，△APQ∽△DQH，得$\frac{AP}{DQ}$=$\frac{AQ}{DH}$，求出DH=$\frac{4-t}{2}$，再由DH∥AP，得$\frac{DH}{AP}$=$\frac{DF}{AF}$列出方程即可解決．
②若∠PHQ=90°，如圖4中，作PM⊥CD于M，類似①利用相似三角形性質(zhì)列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）∵AB=7，7÷2=3.5，
∴0≤t≤3.5，
由圖象可知y=t，
∴t=1時(shí)，y=1，
∴$\frac{1}{2}$•AE•2=1，
∴AE=1，
故答案分別為0≤t≤3.5，1．
（2）如圖3中，∵四邊形AMHP是菱形，
∴AM=MH=2DM，AM∥PF，
∵∠ADM=90°，
∴∠MAD=30°，
∴∠PFA=∠MFA=∠MAD=30°，
∴MA=MF，∵M(jìn)D⊥AF，
∴AD=DF=4，
∴a=4．AP=2DM=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴t=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

（3）①若∠PQH為直角三角形，
∵∠PQA+∠HQD=90°，∠HQD+∠QHD=90°，
∴∠AQP=∠QHD，∵∠PAQ=∠HDQ=90°．
∴△APQ∽△DQH，
∴$\frac{AP}{DQ}$=$\frac{AQ}{DH}$，
∴$\frac{2t}{4-t}$=$\frac{t}{DH}$，
∴DH=$\frac{4-t}{2}$，
∵DH∥AP，
∴$\frac{DH}{AP}$=$\frac{DF}{AF}$，
∴$\frac{\frac{4-t}{2}}{2t}$=$\frac{\frac{4}{3}}{4+\frac{4}{3}}$，
∴t=2．
②若∠PHQ=90°，如圖4中，作PM⊥CD于M，同理可證△PMH∽△HDQ，
∴$\frac{PM}{HD}$=$\frac{MH}{DQ}$，
∴$\frac{4}{HD}$=$\frac{2t-HD}{4-t}$，
∵DH∥AP，
∴$\frac{DH}{AP}$=$\frac{DF}{AF}$，
∴$\frac{DH}{2t}$=$\frac{\frac{4}{3}}{4+\frac{4}{3}}$，
∴DH=$\frac{1}{2}$t，
∴$\frac{4}{\frac{1}{2}t}$=$\frac{2t-\frac{1}{2}t}{4-t}$，
∴3t²+16t-64=0，
∴t=$\frac{8}{3}$或（-8舍棄），
∴t=2或$\frac{8}{3}$時(shí)，△PQH能構(gòu)成直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，列出方程解決問題，屬于中考?jí)狠S題．