Question

如圖，⊙O是以原點(diǎn)為圓心，

2

為半徑的圓，點(diǎn)P是直線y=-x+6上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的一條切線PQ，Q為切點(diǎn)，則切線長(zhǎng)PQ的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：計(jì)算題

分析：作OC⊥AB于C，連結(jié)OQ、OP，根據(jù)切線的性質(zhì)得OQ⊥PQ，即∠OQP=90°，利勾股定理得PQ²=OP²-OQ²，即PQ=

OP2-OQ2

，由于OQ=

2

，所以當(dāng)OP最小時(shí)，PQ最小，即點(diǎn)P在C點(diǎn)的位置時(shí)，PQ最�。蝗缓蟠_定B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），則OA=OB=6，AB=6

2

，根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)OC=

1

2

AB=3

2

，于是可得到PQ的最小值=4．

解答：解：作OC⊥AB于C，連結(jié)OQ、OP，如圖，
∵PQ為⊙O的切線，
∴OQ⊥PQ，
∴∠OQP=90°，
∴PQ²=OP²-OQ²，即PQ=

OP2-OQ2

∵OQ=

2

，
∴當(dāng)OP最小時(shí)，PQ最小，即點(diǎn)P在C點(diǎn)的位置時(shí)，PQ最小，
把x=0代入y=-x+6得y=6，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，6），
把x=0代入y=-x+6得-x+6=0，解得x=6，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，0），
∴OA=OB=6，
∴AB=

2

OA=6

2

，
∴OC=

1

2

AB=3

2

，
∴PQ的最小值=

(3 2 )2-( 2 )2

=4．
故答案為4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)；經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心．也考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．