Question

【題目】已知拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為OC中點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上．

（1）直接寫出A、B、C、D坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)P在第四象限，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，垂足為E，PE交BC、BD于G、H，是否存在這樣的點(diǎn)P，使PG＝GH＝HE？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）若直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣2x﹣3在x軸下方有兩個(gè)交點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，﹣3)，D(0，﹣)；（2）存在，(，﹣)；（3）﹣＜t＜﹣1

【解析】

（1）可通過二次函數(shù)的解析式列出方程，即可求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）存在，先求出直線BC和直線BD的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣3），則E（x，0），H（x，x﹣），G（x，x﹣3），列出等式方程，即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)；

（3）求出直線y＝x+t經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)t的值，再列出當(dāng)直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣2x﹣3只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)的方程，使根的判別式為0，求出t的值，即可寫出t的取值范圍．

解：（1）在y＝x2﹣2x﹣3中，

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3；當(dāng)y＝0時(shí)，x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），

∵D為OC的中點(diǎn)，

∴D（0，﹣）；

（2）存在，理由如下：

設(shè)直線BC的解析式為y＝kx﹣3，

將點(diǎn)B（3，0）代入y＝kx﹣3，

解得k＝1，

∴直線BC的解析式為y＝x﹣3，

設(shè)直線BD的解析式為y＝mx﹣，

將點(diǎn)B（3，0）代入y＝mx﹣，

解得m＝，

∴直線BD的解析式為y＝x﹣，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣3），則E（x，0），H（x，x﹣），G（x，x﹣3），

∴EH＝﹣x+，HG＝x﹣﹣（x﹣3）＝﹣x+，GP＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，

當(dāng)EH＝HG＝GP時(shí)，﹣x+＝﹣x2+3x，

解得x1＝，x2＝3（舍去），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）；

（3）當(dāng)直線y＝x+t經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，

將點(diǎn)B（3，0）代入y＝x+t，

得，t＝﹣1，

當(dāng)直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣2x﹣3只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，方程x+t＝x2﹣2x﹣3只有一個(gè)解，

即x2﹣x﹣3﹣t＝0，

△＝（）2﹣4（﹣3﹣t）＝0，

解得t＝﹣，

∴由圖2可以看出，當(dāng)直線y＝x+t與拋物線y＝x2﹣2x﹣3在x軸下方有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍為：﹣＜t＜﹣1時(shí)．