Question

【題目】如圖，直線y= x+4交于x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，過(guò)A、C兩點(diǎn)的拋物線F1交x軸于另一點(diǎn)B（1，0）．

（1）求拋物線F1所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△BPC的內(nèi)心在y軸上，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在寫(xiě)出理由；
（3）直線y=kx﹣6與y軸交于點(diǎn)N，與直線AC的交點(diǎn)為M，當(dāng)△MNC與△AOC相似時(shí)，求點(diǎn)M坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：令y=0代入y= x+4，解得：x=﹣3，

∴A（﹣3，0）．

令x=0，代入y= x+4，得y=4，

∴C（0，4）．

設(shè)拋物線F1的解析式為：y=a（x+3）（x﹣1），

把C（0，4）代入上式得，a=﹣ ，

∴y=﹣ x2﹣ x+4．

∴y=﹣ （x2+2x+1）+ ，

∴Q（﹣1， ）．

（2）解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），取點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′（﹣1，0），連接CB′，則∠BCO=∠B′CO，

∴△BPC的內(nèi)心在y軸上．

設(shè)直線B′C的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B′和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得： ，

解得：k=4，b=4．

∴直線B′C的解析式為y=4x+4，

將y=4x+4與y=﹣ x2﹣ x+4聯(lián)立得： ，

解得： 或 （舍去）．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣5，﹣16）

（3）解：N（0，﹣6），直線AC的表達(dá)式為y= x+4．

當(dāng)△MNC∽△AOC時(shí)，∠CMN=90°．

∴直線MN的一次項(xiàng)系數(shù)為﹣ ．

∴MN的解析式為y=﹣ x﹣6．

將y= x+4與y=﹣ x﹣6聯(lián)立，解得： ，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣ ，﹣ ）．

②當(dāng)∠CNM為直角時(shí)，MN∥x軸，

將y=﹣6代入y= x+4得： x+4=﹣6，解得：x=﹣ ．

∴M（﹣ ，﹣6）．

綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣6）

【解析】（1）先求得點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的額解析式，接下來(lái)，利用配方法求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）取點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′（-1，0），連接CB′，則∠BCO=∠B′CO，然后求得直線B′C的解析式為，然后將直線B′C的解析式與拋物線的解析式聯(lián)立可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)∠CMN=90°時(shí)，先求得直線MN的解析式，然后將直線AC與直線MN的解析式聯(lián)立可求得點(diǎn)點(diǎn)M的坐標(biāo)；當(dāng)∠CNM為直角時(shí)，MN∥x軸，再求得直線MN的解析式，然后將直線AC與直線MN的解析式聯(lián)立可求得點(diǎn)點(diǎn)M的坐標(biāo).