【題目】已知:如圖,直線y=kx+b(k,b為常數(shù))分別與x軸、y軸交于點A(﹣4,0),B(0,3),拋物線y=﹣x2+4x+1與y軸交于點C,點E在拋物線y=﹣x2+4x+1的對稱軸上移動,點F在直線AB上移動,CE+EF的最小值是( )
A.2B.4C.2.5D.3
【答案】B
【解析】
設(shè)C點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C′,由對稱的性質(zhì)可得CE=C′E,則可知當(dāng)F、E、C′三點一線且C′F與AB垂直時CE+EF最小,由C點坐標(biāo)可確定出C′,F點的坐標(biāo),即可求得CE+EF的最小值.
解:如圖,設(shè)C點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為C′,由對稱的性質(zhì)可得CE=C′E,
∴CE+EF=C′E+EF,
∴當(dāng)F、E、C′三點共線且C′F⊥AB時CE+EF最小,
∵直線y=kx+b(k,b為常數(shù))分別與x軸、y軸交于點A(﹣4,0),B(0,3),
∴,
解得,
∴直線解析式為y=x+3;
∵拋物線y=﹣x2+4x+1與y軸交于點C,
∴C(0,1),
∴C′(4,1),
∴可設(shè)直線C′F的解析式為y=﹣x+,
由,解得,
∴F(,),
∴C′F==4,
即CE+EF的最小值為4,
故選:B.
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【題目】如圖,在ABCD中,AE⊥BC,垂足為E,如果AB=5,AE=4,BC=8,有下列結(jié)論:
①DE=4;
②S△AED=S四邊形ABCD;
③DE平分∠ADC;
④∠AED=∠ADC.
其中正確結(jié)論的序號是_____(把所有正確結(jié)論的序號都填在橫線上)
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【題目】如圖①,在中,,,D是BC的中點.
小明對圖①進(jìn)行了如下探究:在線段AD上任取一點P,連接PB.將線段PB繞點P按逆時針方向旋轉(zhuǎn),點B的對應(yīng)點是點E,連接BE,得到.小明發(fā)現(xiàn),隨著點P在線段AD上位置的變化,點E的位置也在變化,點E可能在直線AD的左側(cè),也可能在直線AD上,還可能在直線AD的右側(cè).請你幫助小明繼續(xù)探究,并解答下列問題:
(1)當(dāng)點E在直線AD上時,如圖②所示.
① ;②連接CE,直線CE與直線AB的位置關(guān)系是 .
(2)請在圖③中畫出,使點E在直線AD的右側(cè),連接CE.試判斷直線CE與直線AB的位置關(guān)系,并說明理由.
(3)當(dāng)點P在線段AD上運動時,求AE的最小值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點P的坐標(biāo)為(,),點Q的坐標(biāo)為(,),且,,若P,Q為某個矩形的兩個頂點,且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直,則稱該矩形為點P,Q的“相關(guān)矩形”.下圖為點P,Q 的“相關(guān)矩形”的示意圖.
(1)已知點A的坐標(biāo)為(1,0).
①若點B的坐標(biāo)為(3,1)求點A,B的“相關(guān)矩形”的面積;
②點C在直線x=3上,若點A,C的“相關(guān)矩形”為正方形,求直線AC的表達(dá)式;
(2)⊙O的半徑為,點M的坐標(biāo)為(m,3).若在⊙O上存在一點N,使得點M,N的“相關(guān)矩形”為正方形,求m的取值范圍.
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)系xOy中,二次函數(shù)y=x2+(2k﹣1)x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式;
(2)在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B,使△AOB的面積等于6,求點B的坐標(biāo);
(3)對于(2)中的點B,在此拋物線上是否存在點P,使∠POB=90°?若存在,求出點P的坐標(biāo),并求出△POB的面積;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是⊙O直徑,∠ACB的平分線交⊙O于D,若AC=m,BC=n,則CD的長為_____(用含m、n的代數(shù)式表示).
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【題目】如圖,A,B是⊙O上的兩點,C是⊙O上不與A,B重合的任意一點.如果∠AOB=140°,那么∠ACB的度數(shù)為___.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y=k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A(3,﹣2)、B(﹣2,n)兩點,與x軸交于點C.
(1)求k2,n的值;
(2)請直接寫出不等式k1x+b>的解集;
(3)將x軸下方的圖象沿x軸翻折,點A落在點A′處,連接A'B、A'C,求△A'BC的面積.
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【題目】拋物線y=,y=﹣2018x2+2019,y=2018x2共有的性質(zhì)是( 。
A.開口向上
B.對稱軸是y軸
C.當(dāng)x>0時,y隨x的增大而增大
D.都有最低點
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