【題目】如圖1,二次函數(shù)y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的右側),與y軸的正半軸交于點C,頂點為D.
(1)求頂點D的坐標(用含a的代數(shù)式表示);
(2)若以AD為直徑的圓經(jīng)過點C.
①求拋物線的函數(shù)關系式;
②如圖2,點E是y軸負半軸上一點,連接BE,將△OBE繞平面內某一點旋轉180°,得到△PMN(點P、M、N分別和點O、B、E對應),并且點M、N都在拋物線上,作MF⊥x軸于點F,若線段MF:BF=1:2,求點M、N的坐標;
③點Q在拋物線的對稱軸上,以Q為圓心的圓過A、B兩點,并且和直線CD相切,如圖3,求點Q的坐標.
【答案】(1)(1,﹣4a);(2)①y=﹣x2+2x+3;②M(,)、N(,);③點Q的坐標為(1,﹣4+2)或(1,﹣4﹣2).
【解析】
分析: (1)將二次函數(shù)的解析式進行配方即可得到頂點D的坐標.
(2)①以AD為直徑的圓經(jīng)過點C,即點C在以AD為直徑的圓的圓周上,依據(jù)圓周角定理不難得出△ACD是個直角三角形,且∠ACD=90°,A點坐標可得,而C、D的坐標可由a表達出來,在得出AC、CD、AD的長度表達式后,依據(jù)勾股定理列等式即可求出a的值.
②將△OBE繞平面內某一點旋轉180°得到△PMN,說明了PM正好和x軸平行,且PM=OB=1,所以求M、N的坐標關鍵是求出點M的坐標;首先根據(jù)①的函數(shù)解析式設出M點的坐標,然后根據(jù)題干條件:BF=2MF作為等量關系進行解答即可.
③設⊙Q與直線CD的切點為G,連接QG,由C、D兩點的坐標不難判斷出∠CDQ=45°,那么△QGD為等腰直角三角形,即QD =2QG =2QB ,設出點Q的坐標,然后用Q點縱坐標表達出QD、QB的長,根據(jù)上面的等式列方程即可求出點Q的坐標.
詳解:
(1)∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣1)2﹣4a,
∴D(1,﹣4a).
(2)①∵以AD為直徑的圓經(jīng)過點C,
∴△ACD為直角三角形,且∠ACD=90°;
由y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣3)(x+1)知,A(3,0)、B(﹣1,0)、C(0,﹣3a),則:
AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4
由勾股定理得:AC2+CD2=AD2,即:9a2+9+a2+1=16a2+4,
化簡,得:a2=1,由a<0,得:a=﹣1,
②∵a=﹣1,
∴拋物線的解析式:y=﹣x2+2x+3,D(1,4).
∵將△OBE繞平面內某一點旋轉180°得到△PMN,
∴PM∥x軸,且PM=OB=1;
設M(x,﹣x2+2x+3),則OF=x,MF=﹣x2+2x+3,BF=OF+OB=x+1;
∵BF=2MF,
∴x+1=2(﹣x2+2x+3),化簡,得:2x2﹣3x﹣5=0
解得:x1=﹣1(舍去)、x2=.
∴M(,)、N(,).
③設⊙Q與直線CD的切點為G,連接QG,過C作CH⊥QD于H,如下圖:
∵C(0,3)、D(1,4),
∴CH=DH=1,即△CHD是等腰直角三角形,
∴△QGD也是等腰直角三角形,即:QD2=2QG2;
設Q(1,b),則QD=4﹣b,QG2=QB2=b2+4;
得:(4﹣b)2=2(b2+4),
化簡,得:b2+8b﹣8=0,解得:b=﹣4±2;
即點Q的坐標為(1,)或(1,).
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦DC交AB于E,過C作⊙O的切線交DB的延長線于M,若AB=4,∠ADC=45°,∠M=75°,則CD的長為( 。
A. B. 2 C. D.
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【題目】如圖1,矩形ABCD中,AB=4,AD=5,E為BC上一點,BE:CE=3:2,連接AE,點P從點A出發(fā),沿射線AB的方向以每秒1個單位長度的速度勻速運動,過點P作PF∥BC交直線AE于點F.
(1)線段AE= ;
(2)設點P的運動時間為t(s),EF的長度為y,求y關于t的函數(shù)關系式,并寫出t的取值范圍;
(3)當t為何值時,以F為圓心的⊙F恰好與直線AB、BC都相切?并求此時⊙F的半徑;
(4)如圖2,將△AEC沿直線AE翻折,得到△AEC',連結AC',如果∠ABF=∠CBC′,求t值.(直接寫出答案,不要求解答過程).
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【題目】關于x的方程|x2﹣x|﹣a=0,給出下列四個結論:①存在實數(shù)a,使得方程恰有2個不同的實根; ②存在實數(shù)a,使得方程恰有3個不同的實根;③存在實數(shù)a,使得方程恰有4個不同的實根;④存在實數(shù)a,使得方程恰有6個不同的實根;其中正確的結論個數(shù)是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】如圖所示,等邊△ABC中,邊長為4,P、Q為AB、AC上的點,將△ABC沿著PQ折疊,使得A點與線段BC上的點D重合,且BD:CD=1:3,則AQ的長度為_____.
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【題目】已知A(a,0),B(0,b),且a、b滿足.
(1)填空:a= ,b= ;
(2)如圖1,將ΔAOB沿x軸翻折得ΔAOC,D為線段AB上一動點,OE⊥OD交AC于點E,求S四邊形ODAE.
(3)如圖2,D為AB上一點,過點B作BF⊥OD于點G,交x軸于點F,點H為x軸正半軸上一點,∠BFO=∠DHO,求證:AF=OH.
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【題目】“五·一”期間,九年一班同學從學校出發(fā),去距學校6千米的本溪水洞游玩,同學們分為步行和騎自行車兩組,在去水洞的全過程中,騎自行車的同學比步行的同學少用40分鐘,已知騎自行車的速度是步行速度的3倍.
(1)求步行同學每分鐘走多少千米?
(2)如圖是兩組同學前往水洞時的路程y(千米)與時間x(分鐘)的函數(shù)圖象.
完成下列填空:
①表示騎車同學的函數(shù)圖象是線段__________;
②已知A點坐標(30,0),則B點的坐標為(________).
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【題目】如圖,等腰中,,點A、B分別在坐標軸上.
(1)如圖①,若,,求C點的坐標;
(2)如圖②,若點A的坐標為,點B在y軸的正半軸上運動時,分別以OB,AB為邊在第一,第二象限作等腰,等腰,連接EF交y軸于P點,當點B在y軸上移動時,PB的長度是否變化?如果不變求出PB值,如果變化求PB的取值范圍.
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【題目】甲、乙兩車分別從A,B兩地同時出發(fā)相向而行.并以各自的速度勻速行駛,甲車途徑C地時休息一小時,然后按原速度繼續(xù)前進到達B地;乙車從B地直接到達A地,如圖是甲、乙兩車和B地的距離y(千米)與甲車出發(fā)時間x(小時)的函數(shù)圖象.
(1)直接寫出a,m,n的值;
(2)求出甲車與B地的距離y(千米)與甲車出發(fā)時間x(小時)的函數(shù)關系式(寫出自變量x的取值范圍);
(3)當兩車相距120千米時,乙車行駛了多長時間?
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